[论文解读] The Quantum Eigenvalue Problem and Z-Eigenvalues of Tensors

Xinzhen Zhang, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|May 7, 2012

Tensor decomposition and applications参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文建立了量子纠缠中量子本征值问题与实对称张量Z-本征值问题之间的直接对应关系，使得张量Z-本征值理论与算法可应用于量子系统。关键贡献在于证明了量子本征值以对形式出现（±λ），且纠缠本征值始终不小于Z-谱半径，同时在有限维张量空间中，纠缠本征值与Z-谱半径之比（QR-比）有上界。

ABSTRACT

The quantum eigenvalue problem arises in the study of the geometric measure of the quantum entanglement. In this paper, we convert the quantum eigenvalue problem to the Z-eigenvalue problem of a real symmetric tensor. In this way, the theory and algorithms for Z-eigenvalues can be applied to the quantum eigenvalue problem. In particular, this gives an upper bound for the number of quantum eigenvalues. We show that the quantum eigenvalues appear in pairs, i.e., if a real number $λ$ is a quantum eigenvalue of a square symmetric tensor $Ψ$, then $-λ$ is also a quantum eigenvalue of $Ψ$. When $Ψ$ is real, we show that the entanglement eigenvalue of $Ψ$ is always greater than or equal to the Z-spectral radius of $Ψ$, and that in several cases the equality holds. We also show that the ratio between the entanglement eigenvalue and the Z-spectral radius of a real symmetric tensor is bounded above in a real symmetric tensor space of fixed order and dimension.

研究动机与目标

• 建立多体量子系统中量子本征值问题与实对称张量Z-本征值问题之间的理论桥梁。
• 解决关于量子本征值数量是否有限的开放问题，并推导其数量的上界。
• 通过揭示Z-本征值与纠缠度量及量子系统归一化约束之间的联系，阐明Z-本征值的物理意义。
• 研究纠缠本征值与底层张量Z-谱半径之间的关系，特别是在实对称张量条件下的情形。

提出的方法

• 将复对称张量Ψ的量子本征值问题重新表述为维度加倍（2n）的实对称张量T的Z-本征值问题。
• 基于超过n的指标数量，使用符号规则显式构造实对称张量T，确保Ψ的Q-本征值与T的Z-本征值一一对应。
• 利用E-特征多项式及对称张量的性质，证明Z-本征值（因此也包括量子本征值）成对出现：若λ是Z-本征值，则−λ也是。
• 将QR-比定义为所有m阶n维实对称张量中，纠缠本征值与Z-谱半径之比的上确界。
• 通过谱范数及已知的Z-谱半径有界性，证明QR-比是有界的。
• 利用现有的Z-本征值与E-本征值研究成果，表明在此背景下Z-本征值更具基础性，而E-本征值与等价本征对可作为有用工具。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于多体纯态，量子本征值的数量是否有限，能否推导出其上界？
• RQ2 量子本征值问题是否可约化为实对称张量的Z-本征值问题？若是，具体如何实现？
• RQ3 量子本征值是否关于零对称，即是否以对(±λ)形式出现？
• RQ4 纠缠本征值与底层张量的Z-谱半径之间有何关系？
• RQ5 在m阶n维实对称张量空间中，纠缠本征值与Z-谱半径之比是否具有上界？

主要发现

• 实对称张量Ψ的量子本征值以对形式出现：若λ是量子本征值，则−λ也是。
• 实对称张量Ψ的纠缠本征值始终大于或等于其Z-谱半径。
• 在若干特定情形下，纠缠本征值等于Z-谱半径。
• 对于m-体纯态，量子本征值的数量最多为(m−1)^{2n}−1 / (m−2)，提供了有限的上界。
• QR-比（定义为纠缠本征值与Z-谱半径之比的上确界）是有界的，且上界为2^{(m−1)/2} ρ(m,2n) / μ(m,n)。
• 从Ψ构造实对称张量T的过程确保了Ψ的Q-本征值与T的Z-本征值精确对应，从而验证了将量子本征值问题约化为Z-本征值问题的合理性。