[论文解读] The quantum FFT can be classically simulated

Dorit Aharonov, Zeph Landau+1 more|ArXiv.org|Nov 14, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 40

一句话总结

本文展示了在证明量子傅里叶变换（QFT）在 ℤ_q 上具有多对数泡宽（poly-logarithmic bubble width）这一拓扑参数后，其可在经典计算机上多项式时间内被模拟。利用该性质及已知的低宽电路经典模拟技术，作者证明了QFT的输出振幅可被经典计算机精确且高效地计算，从而挑战了QFT本质上为量子操作的假设。

ABSTRACT

In this note we describe a simple and intriguing observation: the quantum Fourier transform (QFT) over $Z_q$, which is considered the most ``quantum'' part of Shor's algorithm, can in fact be simulated efficiently by classical computers. More precisely, we observe that the QFT can be performed by a circuit of poly-logarithmic path-width, if the circuit is allowed to apply not only unitary gates but also general linear gates. Recalling the results of Markov and Shi [MaSh] and Jozsa [Jo] which provided classical simulations of such circuits in time exponential in the tree-width, this implies the result stated in the title. Classical simulations of the FFT are of course meaningless when applied to classical input strings on which their result is already known; Our observation might be interesting only in the context in which the QFT is used as a subroutine and applied to more interesting superpositions. We discuss the reasons why this idea seems to fail to provide an efficient classical simulation of the entire factoring algorithm. In the course of proving our observation, we provide two alternative proofs of the results of [MaSh,Jo] which we use. One proof is very similar in spirit to that of [MaSh] but is more visual, and is based on a graph parameter which we call the ``bubble width'', tightly related to the path- and tree-width. The other proof is based on connections to the Jones polynomial; It is very short, if one is willing to rely on several known results.

研究动机与目标

• 研究量子傅里叶变换（QFT）——秀尔因数分解算法的核心组件——是否可在经典计算机上被高效模拟。
• 探索基于泡宽和树宽等拓扑参数的量子电路的经典可模拟性。
• 利用新颖的图论与拓扑工具，为现有经典模拟定理提供替代证明。
• 考察当应用于完整因数分解算法时，经典模拟的局限性，特别是由于模指数运算等高泡宽组件的存在。

提出的方法

• 引入泡宽作为量子电路图的拓扑参数，通过图的连续同胚形变与周围气泡的定义进行刻画。
• 通过构造一种从左到右的泡化过程，证明QFT电路具有多对数泡宽，从而在任意阶段限制交叉边的数量。
• 应用Markov与Shi（2006）的结果：经典模拟时间随树宽呈指数增长；由于泡宽与树宽密切相关，这暗示了高效的经典模拟。
• 提供两种替代证明：一种基于泡宽的视觉与组合方法，另一种基于从量子电路导出的辫子的琼斯多项式。
• 利用琼斯多项式的量子通用性及已知的低树宽辫子高效评估算法，经典计算出所需振幅。
• 将原始量子电路转化为泡宽为多对数的辫子，确保琼斯多项式可在准多项式时间内求值。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管QFT被视为典型的量子操作，它是否仍可在经典计算机上被高效模拟？
• RQ2 泡宽参数是否比树宽提供了更紧密或更直观的可模拟量子电路表征？
• RQ3 为何QFT的经典模拟无法扩展至完整的因数分解算法，即使QFT本身是可模拟的？
• RQ4 琼斯多项式框架是否可用于推导出低拓扑复杂度量子电路的高效经典模拟？

主要发现

• ℤ_q 上的量子傅里叶变换可被经典计算机在多项式时间内模拟，因其电路具有多对数泡宽。
• QFT电路的泡宽受量子比特数的二次函数有界，这在输入规模下为多对数。
• 经典模拟时间随泡宽呈指数增长，但由于泡宽为多对数，整体时间在门数上仍保持多项式。
• 基于琼斯多项式的证明表明，可通过利用从电路导出的辫子图的低树宽，将所需振幅在准多项式时间内计算。
• 模拟无法扩展至秀尔完整因数分解算法，因为模指数运算步骤的泡宽接近量子比特数的线性量级，从而阻碍高效模拟。
• 泡宽在电路组合下不具可加性，因此即使各组件泡宽较低，其组合后也可能导致高泡宽，使模拟效率低下。