[论文解读] The quot functor of a quasi-coherent sheaf

Gennaro Di Brino|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文構造了一個無限維的概形，用以表示射影概形上擬 coherent 丛的 Quot 函子，將 Grothendieck 的經典 Quot 概形推廣至非有限生成的情形。透過結合 Deligne 對擬 coherent 丛的 ind-對象實現與 Grassmannian 的過濾性上積 Limit 結構，作者證明了 Quot 函子的可表示性，並為一致正則的丛建立了大規模的 Grassmannian 嵌入。

ABSTRACT

We build an infinite dimensional scheme parametrizing isomorphism classes of coherent quotients of a quasi-coherent sheaf on a projective scheme. The main tool to achieve the construction is a version of Grothendieck's Grassmannian embedding combined with a result of Deligne, realizing quasi-coherent sheaves as ind-objects in the category of quasi-coherent sheaves of finite presentation. We end our treatment with the discussion of a special case in which we can retain an analog of the Grassmannian embedding.

研究动机与目标

• 將射影概形上擬 coherent 丛的經典 Quot 概形構造，從有限生成情形推廣至擬 coherent 丛。
• 解決 Quot 函子在纖維僅為擬 coherent 而非有限生成時的可表示性這一開放問題。
• 利用過濾性上積 Limit 將古典 Grassmannian 嵌入推廣至無限維設定。
• 識別出無限維 Quot 概形可嵌入於代數 Grassmannian 的條件。

提出的方法

• 利用 Deligne 定理：在擬緊、擬分離的概形上，擬 coherent 丛等價於有限表示擬 coherent 丛的 ind-對象。
• 透過有限型 Grassmannian 子概形之間的仿射態射的射影極限，將代數 Grassmannian 構造為擬緊開子概形的過濾性上積 Limit。
• 將 Quot 函子表示為由古典 Quot 概形的開子概形與仿射態射的射影極限所構成的 scheme 的過濾性上積 Limit。
• 應用 ind-pro 原理，將無限維 Quot 概形構造為有限維 Quot 概形的極限。
• 引入「一致 m-正則」擬 coherent 丛的概念，即所有有限生成逼近的 Castelnuovo-Mumford 正則性均受 m 限制。
• 利用與過濾結構相容性，將 Quot 概形嵌入於全局截面的直和極限的 Grassmannian，實現 quasi-閉嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 在域上射影概形上的擬 coherent 丛，其 Quot 函子是否仍可由概形表示，即使該丛非有限生成？
• RQ2 在無限維設定下，是否存在對古典 Grassmannian 嵌入的推廣？
• RQ3 在何種條件下，擬 coherent 丛的 Quot 概形可嵌入於代數 Grassmannian？
• RQ4 如何利用擬 coherent 丛的 ind-對象結構，將 Quot 概形構造為過濾性上積 Limit？
• RQ5 Castelnuovo-Mumford 正則性在控制擬 coherent 丛的 Quot 概形幾何性質中扮演何種角色？

主要发现

• 在域上射影概形上的擬 coherent 丛，其 Quot 函子可由概形表示，推廣了 Grothendieck 在有限生成情形的結果。
• Quot 概形被構造為 scheme 的過濾性上積 Limit，其中每一項皆為古典 Quot 概形的開子概形與仿射態射的射影極限。
• 局部自由商的代數 Grassmannian 被證明是擬緊開子概形的過濾性上積 Limit。
• 對於一致 m-正則的擬 coherent 丛，存在一個 Quot 概形到全局截面扭轉的直和極限的 Grassmannian 的 quasi-閉嵌入。
• 該嵌入被實現為過濾系統各分量之間閉嵌入的極限，並保持 ind-pro 結構。
• 當 Hilbert 多項式恆為 1 時，該構造回收古典射影化纖叢，並識別出 Quot 概形即為該纖叢的射影化。