[论文解读] The rank of a divisor on a finite graph: geometry and computation

Madhusudan Manjunath|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在固定顶点数的有限图上计算除子秩的多项式时间算法，利用数的几何中的几何洞察以及一种名为临界自同构群的新图不变量。关键贡献是时间复杂度为 $O(2^{n\bar{\log} n})\text{poly}(\text{size}(G))$ 的算法，其中 $n+1$ 为顶点数，并且给出了一个新证明：测试非负秩属于 $NP \cap co-NP$，从而引入了临界自同构群作为结构不变量。

ABSTRACT

We study the problem of computing the rank of a divisor on a finite graph, a quantity that arises in the Riemann-Roch theory on a finite graph developed by Baker and Norine (Advances of Mathematics, 215(2): 766-788, 2007). Our work consists of two parts: the first part is an algorithm whose running time is polynomial for a multigraph with a fixed number of vertices. More precisely, our algorithm has running time O(2^{n \log n})poly(size(G)), where n+1 is the number of vertices of the graph G. The second part consists of a new proof of the fact that testing if rank of a divisor is non-negative or not is in the complexity class NP intersection co-NP and motivated by this proof and its generalisations, we construct a new graph invariant that we call the critical automorphism group of the graph.

研究动机与目标

• 开发一种在固定顶点数的有限多重图上计算除子秩的多项式时间算法。
• 利用格几何和多面体结构，为除子秩提供几何解释。
• 通过一个对偶定理，证明测试除子秩是否非负属于 $NP \cap co-NP$。
• 引入并表征一种基于除子配置对偶性和对称性的新图不变量——临界自同构群。
• 探索临界自同构群的结构性质，特别是完全图中的性质，并提供构造性表征。

提出的方法

• 该算法以Riemann-Roch定理及Baker与Norine的工作中的秩公式作为基础工具。
• 应用数的几何技术，特别是格点的枚举以及在超平面上的投影。
• 方法涉及将拉普拉斯多面体的极值点正交投影到超平面 $H_0 = \{(1,\dots,1)^\perp\}$，以识别临界配置。
• 关键部分是使用一个对偶定理，该定理刻画了具有非负秩的除子，从而支持了 $NP \cap co-NP$ 的证明。
• 临界自同构群被构造为在距离函数 $d_S$ 下保持临界配置集合不变的自同构群。
• 对于完全图，该方法利用置换对称性和格基变换，推导出涉及整数平移和置换的一般形式的临界自同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当顶点数固定时，能否在多项式时间内计算有限图上除子的秩？
• RQ2 除子秩背后的几何结构是什么？如何在算法上加以利用？
• RQ3 测试 $r(D) \geq 0$ 是否属于 $NP \cap co-NP$？其复杂度类成员关系背后的结构对偶性是什么？
• RQ4 能否从除子配置的对偶结构中导出新的不变量？它们与图的对称性有何关联？
• RQ5 临界自同构群能否被完全表征，特别是在对称图（如完全图）中？

主要发现

• 本文提出的时间复杂度为 $O(2^{n\log n})\text{poly}(\text{size}(G))$ 的算法，用于计算具有 $n+1$ 个顶点的多重图上除子的秩，当 $n$ 固定时为多项式时间。
• 秩的计算基于将除子配置视为拉普拉斯多面体极值点在超平面 $H_0$ 上的投影的几何解释。
• 证明了一个对偶定理，该定理刻画了具有非负秩的除子，从而确立了该判定问题属于 $NP \cap co-NP$。
• 引入了图的临界自同构群，即保持临界配置集合不变的自同构群，并证明其同构于临界多面体的自同构群。
• 对于完全图 $K_{n+1}$，临界自同构群包含所有顶点置换，以及更一般的涉及整数平移 $H \cdot q_i$ 的映射，其中 $H$ 整除高度 $n$。
• 本文构造了 $K_{n+1}$ 的临界自同构的一般形式：将 $b_i$ 映射为 $b_{\pi(i)} + H \cdot q_i$，其中 $q_i$ 属于前序基向量的张成空间，且 $H$ 整除 $n$。