[论文解读] The rational homotopy of mapping spaces of E${}_n$ operads

Benoît Fresse, Victor Turchin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用 33

一句话总结

本文通过图复形表达，计算了 Eₙ 操作空间之间的有理同伦型，表明当 n−m>2 时，Mapʰ(Dₘ,Dₙ) 与 Mapʰ(Dₘ,Dₙ^ℚ) 的有理同伦型是等价的。它建立了双导子复形与毛发图复形之间的联系，使得能够在低度数下显式计算有理同伦群，并在高度数中构造出无限多个非平凡类。

ABSTRACT

We express the rational homotopy type of the mapping spaces $\mathrm{Map}^h(\mathsf D_m,\mathsf D_n^{\mathbb Q})$ of the little discs operads in terms of graph complexes. Using known facts about the graph homology this allows us to compute the rational homotopy groups in low degrees, and construct infinite series of non-trivial homotopy classes in higher degrees. Furthermore we show that for $n-m>2$, the spaces $\mathrm{Map}^h(\mathsf D_m,\mathsf D_n^{\mathbb Q})$ and $\mathrm{Map}^h(\mathsf D_m,\mathsf D_n)$ are simply connected and rationally equivalent. As application we determine the rational homotopy type of the deloopings of spaces of long embeddings. Some of the results hold also for mapping spaces $\mathrm{Map}_{\leq k}^h(\mathsf D_m,\mathsf D_n^{\mathbb Q})$, $\mathrm{Map}_{\leq k}^h(\mathsf D_m,\mathsf D_n)$, $n-m\geq 2$, of the truncated little discs operads, which allows one to determine rationally the delooping of the Goodwillie-Weiss tower for the spaces of long embeddings.

研究动机与目标

• 确定有理目标下小圆盘操作空间 Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ) 的有理同伦型。
• 将这些映射空间的同伦型与图复形（特别是毛发图复形）联系起来。
• 当 n−m>2 时，建立 Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ) 与 Mapʰ(Dₘ, Dₙ) 之间的有理等价性。
• 将结果应用于计算长嵌入空间的分次空间的有理同伦型。
• 将框架扩展至截断操作空间，并与 Goodwillie-Weiss 嵌入微积分联系起来。

提出的方法

• 使用 dg 余操作空间的双导子复形上的 L∞-代数结构来建模映射空间。
• 为 dg Hopf Λ-余操作空间构造纤维化替换和单纯框架，以建模导出映射空间。
• 通过滤过 L∞-代数上的完成张量积，实现 L∞-代数的 Maurer-Cartan 空间之单形复形的实现。
• 通过图复形技术，将映射空间的同伦型识别为毛发图的李代数之单形复形。
• 应用图同调的已知结果，以在低度数下计算有理同伦群。
• 使用滤过 L∞-代数和 Maurer-Cartan 元素，定义并比较不同滤过下的 L∞-代数的单形复形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用组合不变量描述 Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ) 的有理同伦型？
• RQ2 当 n−m>2 时，Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ) 与 Mapʰ(Dₘ, Dₙ) 的有理同伦型之间存在何种关系？
• RQ3 能否使用图复形显式计算这些映射空间的同伦群？
• RQ4 这些结果如何推广至截断操作空间及 Goodwillie-Weiss 嵌入微积分？
• RQ5 Maurer-Cartan 空间之单形复形构造在多大程度上独立于滤过的选择？

主要发现

• Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ) 的有理同伦型等价于毛发图的李代数之单形复形，具体为 HGCₘ,ₙ 图复形的单形复形。
• 当 n−m>2 时，空间 Mapʰ(Dₘ, Dₙ^ℚ) 与 Mapʰ(Dₘ, Dₙ) 有理同伦等价且单连通。
• 低度数的有理同伦群通过图同调显式计算，非平凡类源自图复形上同调。
• 通过 HGCₘ,ₙ 复形的结构，在高度数中构造出无限多个非平凡的有理同伦类。
• 结果可推广至截断操作空间，从而实现对长嵌入的 Goodwillie-Weiss 层次塔的分次空间的有理同伦型的计算。
• 滤过 L∞-代数的 Maurer-Cartan 空间之单形复形在弱等价意义下，对可比较滤过的选择是独立的。