[论文解读] The real locus of an involution map on the moduli space of flat connections on a Riemann surface

Nan-Kuo Ho|ArXiv.org|Dec 23, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文证明，当且仅当G的中心阶数为奇数时，非可定向曲面Σ上的平坦G-丛模空间与该曲面的可定向双重覆盖Ũ上平坦G-丛模空间上一个反全纯、反辛的对合的固定点集同构。这一同构关系使得能够在Ũ上的Kähler平坦联络模空间中构造极小拉格朗日子流形。

ABSTRACT

It is known that every nonorientable surface $Σ$ has an orientable double cover $ ildeΣ$. The covering map induces an involution on the moduli space $ ilde{\M}$ of gauge equivalence classes of flat $G$-connections on $ ildeΣ$. We identify the relation between the moduli space $\M$ and the fixed point set of the moduli space $ ilde{\M}$. In particular, $\M$ is isomorphic to the fixed point set of $ ilde{\M}$ if and only if the order of the center of $G$ is odd. One important application is that we give a way to construct a minimal Lagrangian submanifold of the moduli space $ ilde{\M}$.

研究动机与目标

• 阐明非可定向曲面Σ上平坦G-联络模空间M与该曲面的可定向双重覆盖Ũ上平坦G-联络模空间M̃上对合的固定点集之间的关系。
• 确定平坦G-联络模空间M与M̃上对合的固定点集同构的条件。
• 利用固定点结构在Kähler模空间M̃中构造一个极小拉格朗日子流形。
• 通过引入两个基点，提供一个表示论模型，以明确对合作用的结构。

提出的方法

• 利用可定向双重覆盖π:Ũ→Σ，诱导Ũ上平坦G-联络空间上的Z₂作用。
• 在Ũ上的G-值1-形式空间上定义一个对合τ，其固定点对应于Σ上的1-形式。
• 证明Ũ上平坦联络空间上的对合τ可提升为M̃上的等距、反全纯、反辛对合。
• 通过引入两个基点，构造M̃的表示模型，使τ作用的结构更加清晰。
• 通过从G/Z(G)到G的提升表示分析τ在M̃上的固定点集，并利用Z(G)/2Z(G)中的共轭类识别其连通分支。
• 利用M̃上的Kähler结构，推导出固定点集是M̃的全测地拉格朗日子流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非可定向曲面Σ上平坦G-联络模空间M同构于其可定向双重覆盖Ũ上平坦G-联络模空间M̃上对合的固定点集？
• RQ2 G的中心如何影响M̃上对合固定点集的结构？
• RQ3 M̃上对合的固定点集能否用于在Kähler模空间M̃中构造一个极小拉格朗日子流形？
• RQ4 当|Z(G)|为偶数时，模空间M与M̃上τ的固定点集之间的确切关系是什么？
• RQ5 引入两个基点的表示模型如何阐明对合τ在M̃上的作用？

主要发现

• 当且仅当G的中心阶数为奇数时，非可定向曲面Σ上平坦G-联络模空间M同构于M̃上对合τ的固定点集。
• 当|Z(G)|为奇数时，M的光滑部分同构于τ在M̃上固定点集的光滑部分。
• τ在M̃上的固定点集是Kähler流形M̃的全测地拉格朗日子流形。
• 当|Z(G)|为偶数时，τ在M̃上的固定点集具有多个连通分支，其中一个分支同构于M，其余分支对应于从G/Z(G)的非平凡提升。
• 对于G = SU(2)，τ在M̃上的固定点集（即CP³）在Fubini-Study度量下同构于RP³，确认其为极小拉格朗日子流形。
• τ在M̃上的固定点集微分同胚于Σ♯RP²上平坦G/Z(G)-联络的模空间，该同胚由投影π:G→G/Z(G)诱导。