[论文解读] The Rectangular Peg Problem

Joshua Evan Greene, Andrew Lobb|arXiv (Cornell University)|May 19, 2020

Mathematics and Applications参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文证明了欧氏平面上任意光滑若尔当曲线都包含一个与给定矩形 R 相似的内接矩形。证明使用辛几何，构造了 C² 中的拉格朗日环面和莫比乌斯带，并应用谢维奇辛定理（C² 中不存在光滑拉格朗日子流形的克莱因瓶）来强制产生一个对应于内接矩形的交点。

ABSTRACT

For every smooth Jordan curve $γ$ and rectangle $R$ in the Euclidean plane, we show that there exists a rectangle similar to $R$ whose vertices lie on $γ$. The proof relies on Shevchishin's theorem that the Klein bottle does not admit a smooth Lagrangian embedding in $\mathbb{C}^2$.

研究动机与目标

• 通过证明任意光滑若尔当曲线都包含一个与给定矩形 R 相似的内接矩形，解决光滑若尔当曲线的矩形钉问题。
• 建立一个辛几何框架，通过拉格朗日子流形及其交点来检测内接矩形。
• 利用谢维奇关于 C² 中拉格朗日子流形克莱因瓶不可嵌入的定理作为关键障碍，从而强制产生一个内接矩形。
• 将结果推广，证明对于任意光滑若尔当曲线和任意连续角度函数 φ(r)，都存在一个直径为 r、对角线夹角为 φ(r) 的内接矩形。

提出的方法

• 在 C² 上通过复坐标和极坐标定义辛结构，其中 ω = dx ∧ dy + r dr ∧ dθ。
• 使用映射 l(z,w) = ((z+w)/2, (z−w)/2) 将乘积 γ×γ 变换为 C² 中的一个拉格朗日环面 L。
• 应用旋转映射 Rϕ(z,r,θ) = (z,r,θ+ϕ) 得到另一个拉格朗日环面 Lϕ = Rϕ(L)，该环面在 Rπ 下不变。
• 构造一个映射 g，将 L 和 Lϕ 变换为莫比乌斯带 M 和 Mϕ，它们在 C×{0} 之外是拉格朗日的。
• 沿其公共边界 γ×{0} 对 M ∪ Mϕ 进行拉格朗日光滑化，得到一个光滑的、嵌入的拉格朗日克莱因瓶 K。
• 利用谢维奇定理（C² 中不存在光滑拉格朗日子流形克莱因瓶）推导出 M 和 Mϕ 必须在 γ×{0} 之外相交，从而对应于 γ 中的一个内接矩形。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个平面上的光滑若尔当曲线都包含四个点构成一个与给定矩形 R 相似的矩形？
• RQ2 能否使用辛拓扑通过分析拉格朗日子流形的交点来检测内接矩形？
• RQ3 能否从与若尔当曲线相关的两个拉格朗日莫比乌斯带构造出一个拉格朗日克莱因瓶？
• RQ4 辛对合 Rπ 在确保光滑化后的拉格朗日曲面存在无不动点作用中起什么作用？
• RQ5 该方法能否推广，以证明对于任意连续函数 φ(r)，都存在一个直径为 r、对角线夹角为 φ(r) 的内接矩形，其顶点位于光滑若尔当曲线上？

主要发现

• 对于每个光滑若尔当曲线 γ 和任意矩形 R，都存在一个与 R 相似的矩形，其顶点位于 γ 上。
• 该证明建立了更强的结果：对于任意光滑若尔当曲线 γ 和任意连续函数 φ: [0,∞) → (0,π)，都存在 r > 0，使得 γ 包含一个直径为 r、对角线夹角为 φ(r) 的矩形。
• 该构造通过光滑化两个莫比乌斯带 M 和 Mϕ 的并集（它们是拉格朗日环面在辛映射下的像）在 C² 中产生了一个光滑的、嵌入的拉格朗日克莱因瓶。
• 此类克莱因瓶的存在与谢维奇定理矛盾，强制 M 和 Mϕ 在 γ×{0} 之外相交，该交点对应于 γ 中的一个内接矩形。
• 该方法通过使用拓扑障碍（拉格朗日子流形克莱因瓶不可嵌入）避免了证明阿诺德-吉文泰尔猜想，从而推导出交点的存在。
• 该结果确认了对于所有长宽比角 φ ∈ (0, π/2]（包括正方形情况，即 φ = π/2）都存在内接矩形，且推广了休盖尔迈尔的早期部分结果。