[论文解读] The Regularized Siegel-Weil Formula (The Second Term Identity) and the Rallis Inner Product Formula

Wee Teck Gan, Yannan Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 47被引用 5

一句话总结

本文在所有对偶对的完全一般性下建立了正则化Siegel-Weil公式第二项恒等式，并推导出全局theta提升的Rallis内积公式。它通过证明一个局部-全局准则，解决了全局theta提升的非零性问题：全局theta提升非零当且仅当所有局部提升非零，且该表示的标准L函数在临界点处非零。

ABSTRACT

In this paper, we establish the second term identity of the Siegel-Weil formula in full generality, and derive the Rallis inner product formula for global theta lifts for any dual pair. As a corollary, we resolve the non-vanishing problem of global theta lifts initiated by Steve Rallis.

研究动机与目标

• 在所有对偶对中，完全一般地建立正则化Siegel-Weil公式第二项恒等式。
• 推导出全局theta提升的Rallis内积公式，将theta提升的Petersson内积与L函数的特殊值联系起来。
• 解决Steve Rallis发起的全局theta提升非零性问题，提供一个非零性的局部-全局准则。
• 将theta对应理论扩展至稳定范围和第一项范围之外，通过正则化处理非收敛积分，涵盖非收敛积分的情形。
• 证明全局theta提升的非零性等价于所有局部提升的非零性以及标准L函数在临界点处的非零性。

提出的方法

• 利用包含 $ G(W_n) imes H(V_r) $ 和 $ G(U_n) imes G(U_n^-) $ 的see-saw对偶图，将theta提升与Eisenstein级数及L函数联系起来。
• 应用正则化Siegel-Weil公式，将theta提升中的内积分解释为Siegel Eisenstein级数的特殊值或留数。
• 运用配对zeta积分理论与正则化Siegel-Weil公式，通过解析延拓与正则化处理非收敛积分。
• 利用局部theta对应中的守恒关系分析诱导表示的结构，并确定非零性条件。
• 应用诱导表示 $ I_n^n(s, \rho) $ 的模图分析，确定临界点处zeta积分 $ Z_v^*(s_{m,n}) $ 的非零性。
• 将正则化Siegel-Weil公式与Rallis内积公式结合，将theta提升的Petersson内积与自守表示的标准L函数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个cuspidal自守表示的全局theta提升是非零的？
• RQ2 如何在所有对偶对（包括非第一项范围情形）中建立正则化Siegel-Weil公式第二项恒等式？
• RQ3 全局theta提升的非零性与标准L函数在临界点处非零性之间的精确关系是什么？
• RQ4 局部theta提升与守恒关系如何约束theta提升的全局非零行为？
• RQ5 是否可以在完全一般性下建立全局theta提升非零性的局部-全局原则，包括非分裂或非稳定范围的对偶对？

主要发现

• 正则化Siegel-Weil公式第二项恒等式在所有对偶对 $ G(U_n) \times H(V_r) $ 中完全一般地建立，超越了第一项范围。
• 推导出所有全局theta提升的Rallis内积公式，表明theta提升的Petersson内积与标准L函数 $ L(s, \tilde{\tau} \times \tau) $ 在临界点处成正比。
• 全局theta提升 $ \theta_{n,r}(\tau) $ 的非零性等价于所有局部提升 $ \theta_{n,r}(\tau_v) $ 的非零性以及 $ L(s_{m,n} + 1/2, \tau \times \tilde{\tau}) $ 的非零性。
• 当 $ \tau $ 为cuspidal且对所有 $ j < r $ 有 $ \theta_{n,j}(\tau) = 0 $ 时，全局theta提升 $ \theta_{n,r}(\tau) $ 非零当且仅当 $ \tau $ 的标准L函数在 $ s_{m,n} + 1/2 $ 处非零。
• 当 $ \theta_{n,r}(\tau) $ 非零时，存在一个Hermitian空间 $ V' $，使得在所有有限和复地方均有 $ V' \times F_v \to V_r \times F_v $，且对 $ H(V') $ 的全局theta提升非零。
• 在特定条件下（例如 $ \rho_0 = -1 $，$ \rho_0 = 0 $ 且在实地方有 $ E_v = F_v \times F_v $，$ \rho_0 = 1 $ 且 $ F $ 完全复，或 $ m = d(n) + 1 $），可取 $ V' = V_r $，即原始空间实现了非零提升。