[论文解读] The relative $\mathcal{L}$-invariant of a compact $4$-manifold

Nickolas A. Castro, Gabriel Islambouli+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文为具有边界的紧致、光滑、可定向4-流形引入了相对τ-不变量$r\mathcal{L}(X)$，其通过三折面的截断复形中的路径长度定义，推广了基尔比与汤普森针对闭4-流形所提出的τ-不变量。本文证明：对于有理同调球$X$，当且仅当$X \cong B^4$时，$r\mathcal{L}(X) = 0$，并利用内部稳定化、相对稳定化以及一种新引入的移动方式——相对双扭动，建立了相对三折的完全稳定化等价定理。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the relative $\mathcal{L}$-invariant $r\mathcal{L}(X)$ of a smooth, orientable, compact 4-manifold $X$ with boundary. This invariant is defined by measuring the lengths of certain paths in the cut complex of a trisection surface for $X$. This is motivated by the definition of the $\mathcal{L}$-invariant for smooth, orientable, closed 4-manifolds by Kirby and Thompson. We show that if $X$ is a rational homology ball, then $r\mathcal{L}(X)=0$ if and only if $X\cong B^4$. In order to better understand relative trisections, we also produce an algorithm to glue two relatively trisected 4-manifold by any Murasugi sum or plumbing in the boundary, and also prove that any two relative trisections of a given 4-manifold $X$ are related by interior stabilization, relative stabilization, and the relative double twist, which we introduce in this paper as a trisection version of one of Piergallini and Zuddas's moves on open book decompositions. Previously, it was only known (by Gay and Kirby) that relative trisections inducing equivalent open books on $X$ are related by interior stabilizations.

研究动机与目标

• 为具有边界的紧致4-流形定义τ-不变量的相对版本，推广基尔比与汤普森对闭4-流形所提出的不变量。
• 通过相对τ-不变量的消失，对4-球$B^4$在有理同调球中的特征进行刻画。
• 开发一组完整的移动方式——内部稳定化、相对稳定化以及相对双扭动——以关联同一4-流形的任意两个相对三折。
• 提供一种在相对三折图上执行Murasugi和的算法，从而实现对具有边界连接的4-流形的三折构造。
• 将相对τ-不变量与边界上诱导开书的单值变换联系起来，尤其通过弧复形中的位移距离。

提出的方法

• 将相对τ-不变量$r\mathcal{L}(X)$定义为所有$X$的相对三折图在三折面的截断复形中路径长度的最小值。
• 引入三个不变量：$r\mathcal{L}(X)$、$r\mathcal{L}^\partial(X)$ 和 $r\mathcal{L}^\circ(X)$，分别衡量整个流形、其边界和其内部的复杂度。
• 将相对双扭动定义为Harer扭动的三折层级类比，使能够操控边界上诱导开书的单值变换。
• 构造一个显式算法，通过Murasugi和将两个相对三折的4-流形粘合，同时保持边界上诱导的开书结构。
• 利用子曲面投影和弧复形距离，将$r\mathcal{L}^\partial(\mathcal{T})$与边界上开书单值变换映射$\phi$的稳定平移距离联系起来。
• 利用弧复形和德恩扭分解的结果，构造出在固定亏格下具有任意大$r\mathcal{L}^\partial$的相对三折示例。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有理同调球$X$，何时有相对τ-不变量$r\mathcal{L}(X) = 0$？
• RQ2 如何利用有限组移动将同一4-流形的相对三折相互关联？
• RQ3 4-流形的Murasugi和能否通过三折图实现？若能，如何实现？
• RQ4 相对τ-不变量如何与边界上诱导开书的单值变换的拓扑复杂度相关联？
• RQ5 固定亏格的相对三折是否可能具有任意大的相对τ-不变量？

主要发现

• 对于有理同调球$X$，当且仅当$X \cong B^4$时，有$r\mathcal{L}(X) = 0$，推广了基尔比与汤普森在闭情形下的结果。
• 存在4-流形$X$，使得对任意$n \in \mathbb{N}$，都有$r\mathcal{L}(X) \geq n$，表明该不变量可任意大。
• 若对于$(g,k;p,b)$-相对三折$\mathcal{T}$，有$r\mathcal{L}^\partial(\mathcal{T}) \leq 1$，则$\partial X \cong \#_{2p+b-1} S^1 \times S^2$。
• 若$r\mathcal{L}^\partial(\mathcal{T}) < 2(2p+b-1)$，则$\partial X$包含一个$S^1 \times S^2$和项。
• 对任意$n \in \mathbb{N}$及固定的$p,b$满足$2p + b - 1 > 1$，存在一个相对三折$\mathcal{T}_n$，使得$r\mathcal{L}^\partial(\mathcal{T}_n) > n$，即使$H_1(\partial X_n; \mathbb{Z})$有统一有界。
• 相对τ-不变量满足不等式$r\mathcal{L}^\partial(\mathcal{T}) \geq \frac{1}{3}(2p + b - 1) d_e(\phi)$，其中$d_e(\phi)$为边界上诱导开书单值变换$\phi$的位移距离。