[论文解读] The relative tensor product and a minimal fiber product in the setting of $C^{*}$-algebras

Thomas Timmermann|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用 7

一句话总结

本文引入了C*-双模的相对张量积以及C*-代数的空间纤维积，将冯诺依曼代数中的康奈斯融合与索维吉奥特的纤维积推广至C*-代数框架。建立了希尔伯特模的相对张量积与L²空间的纤维积之间的酉等价，并将纤维积表征为具有强*连续纤维作用的有界函数C*-代数，证明其在一般情况下严格包含代数张量积。

ABSTRACT

We introduce a relative tensor product of $C^{*}$-modules and a spatial fiber product of $C^{*}$-algebras that are analogues of Connes' fusion of correspondences and the fiber product of von Neumann algebras introduced by Sauvageot, respectively, and study their categorical properties. These constructions form the basis for our approach to quantum groupoids in the setting of $C^{*}$-algebras that is published separately.

研究动机与目标

• 开发C*-双模的相对张量积，将冯诺依曼代数中康奈斯的融合推广至C*-框架。
• 相对于共同的C*-子代数，定义C*-代数的空间纤维积，将索维吉奥特的构造推广至C*-代数。
• 为C*-代数框架下的量子群胚提供基础框架，克服先前方法的局限性。
• 将纤维积表征为具有强*连续纤维作用的有界函数C*-代数，其与代数张量积不同。

提出的方法

• 通过基C*-代数上的可测希尔伯特空间族引入一类新的C*-双模，实现纤维积张量积的构造。
• 通过在基上对代数张量积进行完备化，利用纤维积张量积的分解，定义希尔伯特C*-模的相对张量积。
• 将空间纤维积 $ A times_{eta}^{lat} B $ 构造为双模表示中相对张量积的对偶的交换子。
• 建立相对张量积 $ H times_{eta}^{lat} K $ 与纤维积空间 $ X imes_Z Y $ 上的L²空间之间的酉等价。
• 利用Rado测度与纤维积分定义纤维积空间 $ X imes_Z Y $ 上的测度 $ \nu $，确保其与模结构相容。
• 对纤维映射施加强*连续性条件，将纤维积代数表征为代数张量积的真超集。

实验结果

研究问题

• RQ1 康奈斯的对应关系融合如何推广至C*-代数框架？
• RQ2 索维吉奥特的冯诺依曼代数纤维积在C*-代数框架下的正确类比是什么？
• RQ3 能否定义一个C*-双模的相对张量积，以捕捉量子群胚乘法的结构？
• RQ4 空间纤维积的C*-代数是否在一般情况下严格大于代数张量积？
• RQ5 何种条件可确保纤维积空间上的函数属于空间纤维积代数？

主要发现

• 建立了相对张量积 $ H times_{eta}^{lat} K $ 与L²空间 $ L^2(X imes_Z Y, \nu) $ 之间的酉等价，其中 $ \nu $ 为纤维积测度。
• 空间纤维积 $ C_0(X) times_{eta}^{lat} C_0(Y) $ 同构于 $ X \times_Z Y $ 上有界函数的C*-代数，其纤维限制为强*连续且在无穷远处趋于零。
• 在离散情形且 $ Z = \{0\} $ 时，纤维积同构于有界函数空间 $ f \in C_b(X \times Y) $，满足对所有 $ x, y $，有 $ f(x, \cdot) \in C_0(Y) $ 且 $ f(\cdot, y) \in C_0(X) $。
• 当 $ X = \mathbb{N} $，$ Y = [0,1] $，且 $ Z = \{0\} $ 时，纤维积由函数 $ f \in C_b(\mathbb{N} \times Y) $ 构成，满足 $ f(x, \cdot) \in C_0(Y) $，且族 $ (f(x, \cdot))_x $ 在 $ \mathcal{L}(L^2(Y)) $ 中强*收敛于0。
• 函数 $ f(x,y) = \chi_{\{y \leq x\}} $ 在 $ [0,1] \times [0,1] $ 上属于纤维积 $ C([0,1]) \rtimes_{\beta}^{lat} C([0,1]) $，表明纤维积严格包含代数张量积 $ C([0,1]) \otimes C([0,1]) $。