[论文解读] The Riemann Problem for Hyperbolic Equations under a Nonconvex Flux with Two Inflection Points

Marco Fossati, L. Quartapelle|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2014

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文针对具有两个拐点的非凸通量的双曲守恒律中的黎曼问题，开发了精确求解器，重点研究标量方程以及P系统和非凸范德瓦尔斯气体的欧拉方程。主要贡献在于首次对非经典波和混合波（包括复合膨胀波和真空形成）进行了解析描述，并通过数值方法进行了验证。

ABSTRACT

This report addresses the solution of Riemann problems for hyperbolic equations when the nonlinear characteristic fields loose their genuine nonlinearity. In this context, exact solvers for nonconvex 1D Riemann problems are developed. First a scalar conservation law for a nonconvex flux with two inflection points is studied. Then the P-system for an isothermal version of the van der Waals gas model is examined in a range of temperatures allowing for a nonconvex pressure function. Eventually the system of the Euler equations of gasdynamics is considered for the polytropic van der Waals gas. In this case, a suitably large specific heat is considered such that the isentropes display a local loss of convexity near the saturation curve and the critical point. Such a nonconvex physical model allows for nonclassical waves to appear as a result of the change of sign of the fundamental derivative of gasdynamics. The solution of the Riemann problem for the considered real gas model reduces to a system of two nonlinear equations for the values of the density on the two sides of the contact discontinuity, much in the same manner of a recently proposed solution method for gases admitting nonlinear wavefields only fully genuine. Solutions containing nonclassical and mixed waves are presented for the three mathematical models. Vacuum formation is described analytically including the presence of composite rarefaction waves, and to the best of authors knowledge, produced numerically here for the first time.

研究动机与目标

• 解决由于非凸通量导致真实非线性性丧失的双曲系统中的黎曼问题。
• 分析具有两个拐点的非凸通量函数的标量守恒律。
• 将分析扩展至等温范德瓦尔斯气体的P系统以及多变指数范德瓦尔斯气体的完整欧拉方程，其等熵线具有非凸性。
• 研究由于流体动力学基本导数符号变化而引发的非经典和混合波结构的出现。
• 对非凸真实气体模型中的真空形成和复合膨胀波结构提供解析与数值描述。

提出的方法

• 为具有两个拐点的非凸通量函数的标量双曲守恒律开发精确求解器。
• 将该求解框架应用于等温范德瓦尔斯气体的P系统，其中压力表现出非凸性。
• 将方法扩展至多变指数范德瓦尔斯气体的欧拉方程，通过使用较大的比热使等熵线在临界点及饱和曲线附近局部失去凸性。
• 将黎曼问题的求解简化为在接触间断面两侧密度值的两个非线性方程组的求解。
• 采用数值延续和路径跟踪技术计算涉及非经典波和混合波的解。
• 对真空形成和复合膨胀波结构进行解析与数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标量双曲守恒律中，非凸通量的两个拐点如何影响黎曼问题解的结构？
• RQ2 当压力函数为非凸时，等温范德瓦尔斯气体的P系统中会形成何种波结构？
• RQ3 由于流体动力学基本导数符号变化，多变指数范德瓦尔斯气体的欧拉方程中如何产生非经典波？
• RQ4 非凸真实气体模型中的真空形成具有何种解析结构？如何通过数值方法捕捉该结构？
• RQ5 在具有两个拐点的非凸通量系统中，复合膨胀波能否被解析描述并数值模拟？

主要发现

• 通过将接触间断面两侧的密度值作为未知量，将标量非凸通量模型的黎曼问题精确求解，转化为求解两个非线性方程组。
• 首次在该类非凸模型中对非经典波和混合波结构（包括复合膨胀波）进行了解析描述并实现了数值模拟。
• 在非凸标量和系统模型中，对真空形成进行了解析表征，并推导出其发生的显式条件。
• 该求解框架成功捕捉了非凸真实气体动力学中涉及激波、膨胀波和接触间断的复杂波相互作用。
• 数值实现验证了复合膨胀波的存在性与结构，证实了在非凸区域内的理论预测。
• 该方法可推广至具有非凸等熵线的系统，表明当流体动力学基本导数符号改变时，非经典波会自然出现。