[论文解读] The Riemann-Roch strategy, Complex lift of the Scaling Site

Alain Connes, Caterina Consani|arXiv (Cornell University)|May 26, 2018

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 37被引用 3

一句话总结

本文引入了有理数的adèle类空间的复杂提升，将其作为具有三角结构的椭圆曲线的模空间来实现，利用热带下降法将复几何中的Riemann-Roch结果转移到特征一的环境。该构造涉及在带 punctured 单位圆盘上具有缩放作用的解析函数的环化拓扑，识别在类似Frobenius映射下不变的全纯函数，将其与GL(2)-系统及非交换几何联系起来。

ABSTRACT

We describe the Riemann-Roch strategy which consists of adapting in characteristic zero Weil's proof, of RH in positive characteristic, following the ideas of Mattuck, Tate and Grothendieck. As a new step in this strategy we implement the technique of tropical descent that allows one to deduce existence results in characteristic one from the Riemann-Roch result over the complex numbers. In order to deal with arbitrary distribution functions this technique involves the results of Bohr, Jessen and Tornehave on almost periodic functions. Our main result is the construction, at the adelic level, of a complex lift of the adele class space of the rationals. We interpret this lift as a moduli space of elliptic curves endowed with a triangular structure. The equivalence relation yielding the noncommutative structure is generated by isogenies. We describe the tight relation of this complex lift with the GL(2)-system. We construct the lift of the Frobenius correspondences using the Witt construction in characteristic one.

研究动机与目标

• 开发一种复几何，将特征一中的热带缩放拓扑从特征一提升至特征零。
• 通过从复几何转移存在性结果，克服在特征一中定义层上同调的障碍。
• 通过adèle几何与非交换几何构造具有三角结构的椭圆曲线的模空间。
• 通过Frobenius对应与Witt构造，建立复提升与GL(2)-系统之间的联系。
• 将复提升解释为一种非交换空间，其中横截复结构源于R的几乎周期紧化。

提出的方法

• 利用热带下降法，将复解析几何中的Riemann-Roch定理转移到缩放拓扑的热带设定中。
• 构造一个环化拓扑，作为单位圆盘在N×作用下的商，其结构层为复解析函数。
• 通过Jensen公式应用热带化映射，将解析函数与分段仿射凸函数相关联，将零点与赋值联系起来。
• 通过涉及单位圆盘的pro-étale覆盖的拓扑理论构造，引入adèle类空间的复提升。
• 在特征一中使用Witt构造，将Frobenius对应提升至复设定。
• 通过涉及算子λX + iY的微分条件定义全纯函数，推广至非交换设定中的全纯性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过热带下降法，利用复几何中的Riemann-Roch结果推导出特征一中的存在性定理？
• RQ2 如何将有理数的adèle类空间提升为保持算术与非交换结构的复几何？
• RQ3 几乎周期函数在将复提升实现为具有三角结构的椭圆曲线模空间中起什么作用？
• RQ4 特征一中的Frobenius对应如何通过Witt构造提升至复设定？
• RQ5 复提升在何种意义上提供了缩放拓扑的量子化？它与横截椭圆理论有何关系？

主要发现

• adèle类空间的复提升被实现为配备三角结构的椭圆曲线的模空间，其参数由R的几乎周期紧化给出。
• 在带 punctured 单位圆盘上，通过N×作用构造的环化拓扑具有复解析函数的结构层，为缩放拓扑提供了几何提升。
• 由 q: Γ_Q,cl → W 定义的函数，q(x+iy) = [e^{-2πy}]e^{2πix}，在微分条件 (λX + iY)χ_λ(q) = 0 意义下是全纯的，并且在类似Frobenius的映射 Fr^a_μ 下不变。
• 复提升在adèle类空间上纤维化，纤维为G，即R的几乎周期紧化，表明在非交换设定中存在横截复结构。
• 通过热带下降法构造提升，成功地将复几何中的Riemann-Roch存在性定理转移至特征一，绕过了热带设定中的上同调障碍。
• GL(2)-系统与复提升紧密关联，Frobenius对应通过特征一中的Witt构造被提升至复设定。