[论文解读] The rigidity theorems for Lagrangian self shrinkers

Qi Ding, Y. L. Xin|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过基于漂移拉普拉斯算子 ℒ 的积分方法，在伪欧几里得空间 ℝ²ⁿⁿ 和欧几里得空间 ℝ²ⁿ 中建立了拉格朗日子收缩子的刚性定理。证明了拉格朗日平均曲率流子收缩子方程的任意整体光滑凸解必为二次多项式，消除了先前对 Hessian 矩阵的衰减假设，并通过新颖地应用漂移拉普拉斯算子与加权分部积分法，推广了早期结果。

ABSTRACT

By the integral method we prove that any space-like entire graphic self-shrinking solution to Lagrangian mean curvature flow in $\R^{2n}_{n}$ with the indefinite metric $\sum_i dx_idy_i$ is flat. This result improves the previous ones in \cite{HW} and \cite{CCY} by removing the additional assumption in their results. In a similar manner, we reprove its Euclidean counterpart which is established in \cite{CCY}.

研究动机与目标

• 在具有不定度量 ∑dxᵢdyᵢ 的伪欧几里得空间 ℝ²ⁿⁿ 中，建立拉格朗日子收缩子的刚性定理。
• 消除先前文献 [9] 和 [1] 中对分类整体解所需的 Hessian 矩阵衰减条件。
• 通过漂移拉普拉斯算子 ℒ 与积分方法，重新证明欧几里得情形的刚性结果，提供一种新的证明策略。
• 证明相位函数 Θ = ∑arctanλᵢ 满足 ℒΘ = 0，从而可利用积分估计证明其为常数。

提出的方法

• 引入通过加权测度 e⁻¹⁴ˣ·Du 定义的漂移拉普拉斯算子 ℒ，其控制 Hessian 行列式对数 φ = log det D²u 的演化。
• 使用截断函数 η 与权重 e⁻¹⁴ˣ·Du 进行分部积分，推导出 ∇φ 与 ∇Θ 的能量估计。
• 利用伪欧几里得情形下由子收缩子方程 (1.2) 导出的恒等式 ℒφ = 0（其中 φ = log det D²u），应用最大值原理与积分方法。
• 建立 ∫|∇φ|²η²ρ dμ ≤ C∫|∇η|²φ²ρ dμ，并在 |∇η|²/|x|² 的体积增长与衰减条件下，证明 φ 为常数。
• 在欧几里得情形下，重新解释相位函数 Θ = ∑arctanλᵢ 满足 ℒΘ = 0，从而可应用相同积分方法证明 Θ 为常数。
• 利用屏障函数与 Hessian 或次调和函数 Δv 的衰减条件，证明 logΔv = ½x·Dv − v 的解必为二次多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有不定度量的 ℝ²ⁿⁿ 中，拉格朗日子收缩子方程的任意整体光滑凸解是否必为二次多项式，而无需对 Hessian 矩阵施加额外衰减假设？
• RQ2 能否通过漂移拉普拉斯算子与积分方法而非最大值原理，重新证明 ℝ²ⁿ 中整体拉格朗日图的刚性结果？
• RQ3 Δv 或 det D²u 的何种增长条件可确保 logΔv = ½x·Dv − v 的解为二次多项式？
• RQ4 在 ℝ²ⁿ 中的整体拉格朗日子收缩子上，相位函数 Θ = ∑arctanλᵢ 是否为常数？能否通过漂移拉普拉斯算子证明这一点？
• RQ5 对截断函数梯度的何种衰减条件可使积分方法推出 φ = log det D²u 为常数？

主要发现

• 在 ℝⁿ 中，方程 log det D²u = ½x·Du − u 的任意整体光滑凸解 u 必为二次多项式，无需假设 Hessian 矩阵衰减，从而改进了 [9] 和 [1] 中的先前结果。
• 漂移拉普拉斯算子 ℒ 满足 ℒφ = 0（其中 φ = log det D²u），使积分估计可用于证明刚性。
• 在 ℝ²ⁿ 中拉格朗日图上，相位函数 Θ = ∑arctanλᵢ 满足 ℒΘ = 0，通过积分估计可证其为常数，从而表明解为二次多项式。
• 对于方程 logΔv = ½x·Dv − v，若 Δv 在无穷远处足够快增长（例如 Δv ≥ C/(|x|²log|x|)），则 v 必为二次多项式。
• 本文构造了一个类似反例的函数 φ(x) = log(2n−4) − 2log|x|（n ≥ 3），其在 ℝⁿ∖{0} 上满足漂移方程 ℒφ = 0，表明全局正则性条件的必要性。
• 衰减条件 ∫ℝⁿ∖Br |Dη|²/|x|² e⁻ϕ e⁻|x|²/⁴eϕ → 0（当 r→∞ 时）足以推出 φ 为常数，且在 eϕ 的温和增长假设下该条件成立。