[论文解读] The selection monad as a CPS transformation

Jules Hedges|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2015

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文將選擇單子（selection monad）確立為一則連續傳遞風格（CPS）轉換，揭示其類似 call/cc 的運算子，並展示其在博弈論與證明理論中的實用性。研究顯示，博弈論中的戰略情境自然對應於連續，進而能以組合式、易於閱讀的方式重構古典分析。

ABSTRACT

A computation in the continuation monad returns a final result given a continuation, ie. it is a function with type $(X o R) o R$. If we instead return the intermediate result at $X$ then our computation is called a selection function. Selection functions appear in diverse areas of mathematics and computer science (especially game theory, proof theory and topology) but the existing literature does not heavily emphasise the fact that the selection monad is a CPS translation. In particular it has so far gone unnoticed that the selection monad has a call/cc-like operator with interesting similarities and differences to the usual call/cc, which we explore experimentally using Haskell. Selection functions can be used whenever we find the intermediate result more interesting than the final result. For example a SAT solver computes an assignment to a boolean function, and then its continuation decides whether it is a satisfying assignment, and we find the assignment itself more interesting than the fact that it is or is not satisfying. In game theory we find the move chosen by a player more interesting than the outcome that results from that move. The author and collaborators are developing a theory of games in which selection functions are viewed as generalised notions of rationality, used to model players. By realising that strategic contexts in game theory are examples of continuations we can see that classical game theory narrowly misses being in CPS, and that a small change of viewpoint yields a theory of games that is better behaved, and especially more compositional.

研究动机与目标

• 釐清選擇單子與 CPS 之間的關係，透過展示其為連續傳遞風格的一種精煉形式。
• 探討選擇單子中是否存在類似 call/cc 的運算子，並分析其行為，與標準 call/cc 進行對比。
• 將選擇函數應用為博弈論中廣義理性模型，以支援情境依賴與非經典理性之代理。
• 發展一套組合式、可擴展的框架，用於博弈論與證明解讀，結合選擇函數與 CPS。
• 透過單子變換與拓撲結構，將選擇單子的應用延伸至非確定性、無限與混合策略博弈。

提出的方法

• 使用選擇單子 $\mathscr{J}X = (X \to R) \to X$ 作為 CPS 轉換，其中中間結果 $X$ 被回傳，而非最終結果 $R$，與連續單子 $\mathscr{K}X = (X \to R) \to R$ 形成對比。
• 引入選擇單子中類似 call/cc 的運算子，具有特定類型，可進行控制流程操作，類似但有別於標準 call/cc。
• 使用實驗性 Haskell 實作，探討選擇單子運算（特別是類似 call/cc 的運算子）的行為。
• 應用選擇函數的乘積來建模博弈論中的倒推法，並證明其與 Spector 的巴遞歸等價。
• 使用基於弦圖與張量範疇的圖形演算，表示戰略互動，透過 delimited 繼續性變換器定義組合與張量積。
• 引入新的「選擇函數之和」運算子 $\oplus$，用於建模同時性、非確定性博弈，其解空間結構優於純策略或混合策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 選擇單子如何作為 CPS 轉換？其與標準連續單子有何區別？
• RQ2 選擇單子中類似 call/cc 的運算子具有何性質與行為？其與傳統 call/cc 有何差異？
• RQ3 選擇函數能否在博弈論中模擬非經典理性之代理，特別是在情境依賴決策中？
• RQ4 選擇函數的乘積如何以人類可讀、博弈論方式解讀古典分析證明？
• RQ5 連續在戰略情境中扮演何種角色？如何透過 CPS 與單子變換器形式化？

主要发现

• 選擇單子是一種 CPS 轉換，其回傳中間結果 ($X$) 而非最終結果 ($R$)，相較於標準連續單子，提供了更精煉的計算觀點。
• 選擇單子中存在類似 call/cc 的運算子，具有獨特類型與行為，可進行與標準 call/cc 不同的控制流程操作。
• 選擇函數的乘積對應於博弈論中的倒推法，且與 Spector 的巴遞歸等價，可從古典證明中提取可計算程式。
• 選擇函數在博弈論中模擬廣義理性，容許情境依賴之代理，如「Keynes 代理」（偏好投給預期勝者）或「punk 代理」（避免投給預期勝者）。
• 「選擇函數之和」運算子 $\oplus$ 可用於建模同時性、非確定性博弈，其解空間結構優於純策略或混合策略。
• 基於弦圖與 delimited 續的圖形演算，提供一套組合式框架用於博弈論，其與 shift/reset 及緊緻範疇具有類比關係。