[论文解读] The sharp bounds of the second and third Hankel determinants for the class SL^*

Shagun Banga, S. Sivaprasad Kumar|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2019

Analytic and geometric function theory参考文献 22被引用 5

一句话总结

该论文为与伯努利右双纽线相关的星象函数类 $ \mathcal{SL}^* $ 的第二个Hankel行列式 $ H_2(3) = a_3a_5 - a_4^2 $ 和第三个Hankel行列式 $ H_3(1) $ 建立了精确界限。通过系数估计和Carathéodory函数表示法，证明了 $ |H_2(3)| \leq \frac{1}{36} $ 和 $ |a_3^2 - a_5| \leq \frac{1}{8} $，两者均为精确界限，解决了该类中的开放问题。

ABSTRACT

The aim of the present paper is to obtain the sharp bounds of the Hankel determinants H_2(3) and H_3(1) for the well known class SL^* of starlike functions associated with the right lemniscate of Bernoulli. Further for n=3, we find the sharp bound of the Zalcman functional for the class SL^*. In addition, a couple of interesting results of SL^* is appended at the end.

研究动机与目标

• 确定几何函数论中尚未解决的 $ \mathcal{SL}^* $ 类中第二个Hankel行列式 $ H_2(3) $ 的精确上界。
• 为 $ \mathcal{SL}^* $ 类中的Zalcman泛函 $ |a_3^2 - a_5| $ 建立精确界限，对应于Zalcman猜想中的 $ n=3 $。
• 通过初始系数及其相关泛函的精确估计，计算第三个Hankel行列式 $ H_3(1) $ 的精确界限。
• 通过与特定核函数的卷积，提供函数属于 $ \mathcal{SL}^* $ 的充分必要条件。

提出的方法

• 通过 $ f(z)/z $ 的对数导数，将系数 $ a_n $ 表示为Carathéodory系数 $ p_n $ 的形式。
• 使用函数 $ F(x,y,z) $ 将 $ H_2(3) $ 表示为 $ p_1, p_2, p_3, p_4 $ 的函数，并在参数范围内进行优化。
• 应用引理1.2，通过由 $ p_n $ 导出的系数 $ a_n $，对表达式 $ |a_3^2 - a_5| $ 的绝对值进行有界。
• 通过参数 $ t \in (0,2) $ 的 $ S(t) = \sqrt{t} + i\sqrt{\sqrt{1+4t} - (t+1)} $ 对右双纽线 $ \gamma_1 $ 的边界进行参数化。
• 定义一个卷积核 $ H_t(z) $，使得当且仅当在 $ \Delta $ 内 $ \frac{1}{z}(f * H_t)(z) \neq 0 $ 时，有 $ f \in \mathcal{SL}^* $。
• 通过构造极值函数（如 $ f(z) = z \exp\left(\int_0^z \frac{\sqrt{1+t^4}-1}{t} dt\right) $）验证界限的精确性，这些函数实现了所求界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在类 $ \mathcal{SL}^* $ 中，第二个Hankel行列式 $ H_2(3) $ 的精确上界是什么？
• RQ2 在 $ \mathcal{SL}^* $ 类中，Zalcman泛函 $ |a_3^2 - a_5| $ 的精确界限是什么？
• RQ3 在 $ \mathcal{SL}^* $ 中，第三个Hankel行列式 $ H_3(1) $ 的精确界限是什么？
• RQ4 使用与特定核函数的卷积，函数属于 $ \mathcal{SL}^* $ 的充分必要条件是什么？
• RQ5 函数 $ \Theta(z) = \frac{z}{1 - \alpha z} $ 在 $ |\alpha| \leq \frac{1}{4} $ 时是否属于 $ \mathcal{SL}^* $？

主要发现

• 第二个Hankel行列式的精确界限为 $ |H_2(3)| \leq \frac{1}{36} $，由函数 $ f(z) = z + \frac{z^5}{6} + \cdots $ 实现，其中 $ a_3 = a_5 = 0 $，$ a_4 = \frac{1}{6} $。
• Zalcman泛函的精确界限为 $ |a_3^2 - a_5| \leq \frac{1}{8} $，当极值函数 $ f(z) = z + \frac{z^5}{8} + \cdots $ 实现时取等，此时 $ a_3 = 0 $，$ a_5 = \frac{1}{8} $。
• 通过精确估计 $ a_2, a_3, a_4, a_5 $、$ H_2(2) $ 和 $ L = |a_4 - a_2 a_3| $，得到了第三个Hankel行列式 $ H_3(1) $ 的精确界限，但文中未明确给出该界限的单一数值表达式。
• 函数 $ f \in \mathcal{S} $ 属于 $ \mathcal{SL}^* $ 的充分必要条件是：对所有 $ z \in \Delta $，有 $ \frac{1}{z}(f * H_t)(z) \neq 0 $，其中 $ H_t(z) $ 由参数化的双纽线边界 $ S(t) $ 定义。
• 当且仅当 $ |\alpha| \leq \frac{1}{4} $ 时，函数 $ \Theta(z) = \frac{z}{1 - \alpha z} $ 属于 $ \mathcal{SL}^* $，通过验证 $ \left| \left( \frac{1}{1 - \alpha z} \right)^2 - 1 \right| < 1 $ 在此条件下成立而得证。
• 极值函数 $ f(z) = z \exp\left( \int_0^z \frac{\sqrt{1 + t^4} - 1}{t} dt \right) $ 被证明可实现 $ |a_3^2 - a_5| $ 的精确界限，从而确认了不等式的精确性。