[论文解读] The shifting method and generalized Tur\'{a}n number of matchings

Jian Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文通过应用移位法，精确确定了匹配图 $M_{k+1}$-自由图与二分图中 $K_s$ 和 $K^*_{s,t}$ 的最大复制数，从而求得 generalized Turán 数的精确值。研究建立了紧致的上界，与完全图和完全分裂图的构造完全匹配，解决了 generalized Turán 理论中的若干未解问题。

ABSTRACT

Given two graphs $T$ and $F$, the maximum number of copies of $T$ in an $F$-free graph on $n$ vertices is called the generalized Tur\\'{a}n number, denoted by $ex(n,T,F)$. When $T=K_2$, it reduces to the classical Tur\\'{a}n number $ex(n,F)$. Let $M_{k}$ be a matching with $k$ edges and $K^{*}_{s,t}$ a graph obtained from $K_{s,t}$ by replacing the part of size $s$ by a clique of the same size. In this paper, we show that for any $s\\geq 2$ and $n\\geq 2k+1$, \\[ ex(n,K_s,M_{k+1})=\\max\\left\\{\\binom{2k+1}{s}, \\binom{k}{s}+(n-k)\\binom{k}{s-1}\ ight\\}. \\] For any $s\\geq 1$, $t\\geq 2$ and $n\\geq 2k+1$, \\[ ex(n,K_{s,t}^*,M_{k+1})=\\max\\left\\{\\binom{2k+1}{s+t}\\binom{s+t}{t}, \\binom{k}{s}\\binom{n-s}{t}+(n-k)\\binom{k}{s+t-1}\\binom{s+t-1}{t}\ ight\\}. \\] Moreover, we also study the bipartite case of the problem. Let $ex_{bip}(n,T,F)$ be the maximum possible number of copies of $T$ in an $F$-free bipartite graph with each part of size $n$. We prove that for any $s,t\\geq 1$ and $n\\geq k$, \\[ ex_{bip}(n,K_{s,t},M_{k+1})=\\left\\{ \\begin{aligned} &\\binom{k}{s}\\binom{n}{t}+\\binom{k}{t}\\binom{n}{s}, & \\quad s\ eq t, &\\binom{k}{s}\\binom{n}{s},&\\quad s=t. \\end{aligned} \ ight. \\] Our proof is mainly based on the shifting method.

研究动机与目标

• 确定 $M_{k+1}$-自由图中 $T = K_s$ 与 $T = K^*_{s,t}$ 的 generalized Turán 数 $ex(n, T, M_{k+1})$ 的精确值。
• 将 generalized Turán 问题推广至二分图情形，计算平衡二分图中 $ex_{\text{bip}}(n, K_{s,t}, M_{k+1})$ 的值。
• 建立与极值构造匹配的紧致上界，解决 generalized Turán 理论中的开放问题。
• 展示移位法在边重分配过程中保持或增加团与 $K^*_{s,t}$ 复制数的有效性。

提出的方法

• 将任意 $M_{k+1}$-自由图通过移位法转化为一个保持或增加 $K_s$ 与 $K^*_{s,t}$ 复制数的移位图。
• 证明该移位图是 $2k+1$ 个顶点的完全图或完全分裂图 $K_k \vee E_{n-k}$，二者均为极值配置。
• 对于 $K^*_{s,t}$，根据顶点在集合 $U_0$、$U'$ 与 $U \setminus U_0$ 中的分布，将复制分类为三类，并利用计数函数的凸性来界定最大值。
• 在二分图情形下，利用 König-Hall 定理识别一个大小为 $k$ 的顶点覆盖 $T$，从而构造出主导所有 $M_{k+1}$-自由图的完全分裂二分图 $G^*$。
• 将 $G^*$ 中 $K_{s,t}$ 复制数表示为 $|X_1| = x$ 的函数，并利用凸性在 $x \in \{0, \dots, k\}$ 上求最大值。
• 通过在端点 $x=0$ 与 $x=k$ 处计算分段函数的最大值，推导出极值表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $s \geq 2$ 且 $n \geq 2k+1$，$M_{k+1}$-自由图中 $K_s$ 复制数的最大值是多少？
• RQ2 对于 $s \geq 1$，$t \geq 2$ 且 $n \geq 2k+1$，$M_{k+1}$-自由图中 $K^*_{s,t}$ 复制数的最大值是多少？
• RQ3 在部分大小为 $n$ 的平衡二分图中，$M_{k+1}$-自由图里 $K_{s,t}$ 复制数的最大值是多少？
• RQ4 移位法是否可用于在避免 $M_{k+1}$ 的同时保持或增加 $K_s$ 与 $K^*_{s,t}$ 的复制数？
• RQ5 在 $M_{k+1}$-自由图中，实现 $K_s$ 与 $K^*_{s,t}$ 复制数最大值的极值图是什么？

主要发现

• 对于 $s \geq 2$ 且 $n \geq 2k+1$，有 $ex(n, K_s, M_{k+1}) = \max\left\{\binom{2k+1}{s}, \binom{k}{s} + (n-k)\binom{k}{s-1}\right\}$。
• 对于 $s \geq 1$，$t \geq 2$ 且 $n \geq 2k+1$，有 $ex(n, K^*_{s,t}, M_{k+1}) = \max\left\{\binom{2k+1}{s+t}\binom{s+t}{t}, \binom{k}{s}\binom{n-s}{t} + (n-k)\binom{k}{s+t-1}\binom{s+t-1}{t}\right\}$。
• 在二分图情形下，当 $s \neq t$ 时，有 $ex_{\text{bip}}(n, K_{s,t}, M_{k+1}) = \binom{k}{s}\binom{n}{t} + \binom{k}{t}\binom{n}{s}$；当 $s = t$ 时，其值为 $\binom{k}{s}\binom{n}{s}$。
• 在非二分图情形下，实现这些上界的极值图为完全图 $K_{2k+1}$ 与完全分裂图 $K_k \vee E_{n-k}$。
• 移位操作保持或增加 $K_s$ 与 $K^*_{s,t}$ 的复制数，且通过计数函数的凸性证明了所得极值图的最优性。
• 证明依赖于移位图中 $K_{s,t}$ 复制数计数函数的凸性，确保最大值出现在端点 $\ell = 2k+1$ 或 $\ell = k+1$ 处。