[论文解读] Some sharp results on the generalized Tur\'an numbers

Jie Ma, Yu Qiu|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文針對廣義圖論數 ex(n, T, H) 提供精確估計，聚焦於當 χ(T) < χ(H) 時，H-自由 n-頂點圖中 T 的最大複本數。透過引入 H 的分解族與 biex(n, H) 函數，本文建立 ex(n, K_m, H) = N(T_r(n), K_m) + biex(n, H) · Θ(n^{m−2})，並精煉 Alon 和 Shikhelman 的 o(n^m) 界中的誤差項。此結果延伸 Erdős 的古典定理，並證明當 H 為邊-臨界圖時，T_r(n) 為唯一最大化 K_m 複本數的圖。

ABSTRACT

For graphs $T, H$, let $ex(n,T,H)$ denote the maximum number of copies of $T$ in an $n$-vertex $H$-free graph. In this paper we prove some sharp results on this generalization of Tur\\'an numbers, where our focus is for the graphs $T,H$ satisfying $\\chi(T)&lt;\\chi(H)$. This can be dated back to Erd\\H{o}s, where he generalized the celebrated Tur\\'an's theorem by showing that for any $r\\geq m$, the Tur\\'an graph $T_r(n)$ uniquely attains $ex(n,K_m,K_{r+1})$. For general graphs $H$ with $\\chi(H)=r+1&gt;m$, Alon and Shikhelman showed that $ex(n,K_m,H)=\\binom{r}{m}(\\frac{n}{r})^m+o(n^m)$. Here we determine this error term $o(n^m)$ up to a constant factor. We prove that $ex(n,K_m,H)=\\binom{r}{m}(\\frac{n}{r})^m+biex(n,H)\\cdot\\Theta(n^{m-2})$, where $biex(n,H)$ is the Tur\\'an number of the decomposition family of $H$. As a special case, we extend Erd\\H{o}s' result, by showing that $T_r(n)$ uniquely attains $ex(n,K_m,H)$ for any edge-critical graph $H$. We also consider $T$ being non-clique, where even the simplest case seems to be intricate. Following from a more general result, we show that for all $s\\leq t$, $T_2(n)$ maximizes the number of $K_{s,t}$ in $n$-vertex triangle-free graphs if and only if $t&lt;s+\\frac12+\\sqrt{2s+\\frac14}$.

研究动机与目标

• 將 Alon 和 Shikhelman 的廣義圖論數 ex(n, K_m, H) 中的誤差項 o(n^m) 改進為緊緻的 Θ(n^{m−2}) 因子。
• 當 χ(H) = r+1 > m 時，透過引入 H 的分解族與 biex(n, H) 函數，確立 ex(n, K_m, H) 的精確漸近行為。
• 證明當 H 為邊-臨界圖時，T_r(n) 為 H-自由圖中唯一最大化 K_m 複本數的圖。
• 將分析擴展至非團圖 T，特別是三角形自由圖中的 K_{s,t}。
• 探討在 K_{r+1}-自由圖中，最大化 T-複本數的極端圖結構，特別是當 T 非團圖時。

提出的方法

• 定義 H 的分解族 F_H 為：從 H 的 (r+1)-著色中刪除 r−1 個顏色類所形成的全部二分圖。
• 定義 biex(n, H) 為：在 n-頂點圖中，不包含 F_H 中任一圖作為子圖時的最大邊數。
• 建立穩定性結果（定理 1.4）：若圖 G 為 H-自由且其 K_m 複本數接近 T_r(n)，則 G 為 T_r(n) 的 O(n²) 條邊擾動。
• 透過在 T_r(n) 的最大部分中插入一個 F_H-自由圖 F（含 biex(n, H) 條邊），構造下界，確保 G 為 H-自由且獲得 Ω(biex(n, H) · n^{m−2}) 個 K_m 複本。
• 運用 Kövári–Sós–Turán 定理，將 biex(n, H) = O(n^{2−α_H}) 界為 O(n^{m−α_H})，進而改善誤差項。
• 應用極端圖論與穩定性技術，分析三角形自由圖中完全多部圖 T = K_{s,t} 的極端圖結構。

实验结果

研究问题

• RQ1 當 χ(H) = r+1 > m 時，ex(n, K_m, H) 的誤差項精確漸近階數為何？特別是超越 o(n^m) 的部分。
• RQ2 對於哪些圖 H，T_r(n) 為 H-自由圖中唯一最大化 K_m 複本數的圖？
• RQ3 當 T 非團圖（如三角形自由圖中的 K_{s,t}）時，極端圖的結構如何改變？
• RQ4 在所有三角形自由的 n-頂點圖中，何種 s 與 t 的條件使完全二分圖 K_{s,t} 在 T_2(n) 中達到最大？
• RQ5 當 T 為完全多部圖或奇圈時，ex(n, T, K_{r+1}) 的極端圖是否可被特徵化？

主要发现

• ex(n, K_m, H) 的誤差項精確為 Θ(biex(n, H) · n^{m−2})，其中 biex(n, H) 為 H 的分解族 F_H 的極端數。
• 當 H 為邊-臨界圖且 χ(H) = r+1 > m 時，biex(n, H) = 0，因此 ex(n, K_m, H) = N(T_r(n), K_m)，且 T_r(n) 為唯一極端圖。
• 此結果推廣 Erdős 定理：即使 H 為任意邊-臨界圖且 χ(H) = r+1，T_r(n) 仍為 K_{r+1}-自由圖中唯一最大化 K_m 複本數的圖。
• 在三角形自由圖中，K_{s,t} 最大化時，T_2(n) 為最佳圖，當且僅當 t < s + 1/2 + √(2s + 1/4)，此為精確的臨界條件。
• 穩定性結果（定理 1.4）顯示，任何 H-自由圖若其 K_m 複本數接近最大值，則必為 T_r(n) 的小擾動（o(n²) 條邊）。
• 分析顯示，當 t ≥ s + 1/2 + √(2s + 1/4) 時，三角形自由設定下 T = K_{s,t} 的極端圖不總是二分圖，暗示其結構複雜度超越二分極端圖。