[论文解读] The Siegel variance formula for quadratic forms

Naser T. Sardari|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过θ表示和Siegel模形式，引入了二次型的光滑方差和，推导出傅里叶系数方差的精确公式。当n=1时，建立了方差的精确上界，并将其应用于证明整数在幺模格上的表示中存在截断现象，同时在正定d维二次曲面上p-整点的丢番图指数上获得最优界。

ABSTRACT

We introduce a smooth variance sum associated to a pair of positive definite symmetric integral matrices $A_{m imes m}$ and $B_{n imes n}$, where $m\geq n$. By using the oscillator representation, we give a formula for this variance sum in terms of a smooth sum over the square of a functional evaluated on the $B$-th Fourier coefficients of the vector valued holomorphic Siegel modular forms which are Hecke eigenforms and obtained by the theta transfer from $O_{A_{m imes m}}$. By using the Ramanujan bound on the Fourier coefficients of the holomorphic cusp forms, we give a sharp upper bound on this variance when $n=1$. As applications, we prove a cutoff phenomenon for the probability that a unimodular lattice of dimension $m$ represents a given even number. This gives an optimal upper bound on the sphere packing density of almost all even unimodular lattices. Furthermore, we generalize the result of Bourgain, Rudnick and Sarnak~\cite{Bourgain}, and also give an optimal bound on the diophantine exponent of the $p$-integral points on any positive definite $d$-dimensional quadric, where $d\geq 3$. This improves the best known bounds due to Ghosh, Gorodnik and Nevo~\cite{GGN} into an optimal bound.

研究动机与目标

• 为满足m ≥ n的正定对称整矩阵对A和B，发展一种光滑方差和。
• 通过O_A的θ提升，将此方差公式化为向量值全纯Siegel模形式的傅里叶系数的表达式，其中该形式为Hecke特征形式。
• 利用cusp形式傅里叶系数的Ramanujan界，对n=1的情形推导出方差的精确上界。
• 将方差公式应用于证明幺模格表示给定偶整数的概率中存在截断现象。
• 推广Bourgain-Rudnick-Sarnak的结果，并改进正定d维二次曲面（d ≥ 3）上p-整点的最优已知丢番图指数界。

提出的方法

• 引入与一对正定对称整矩阵A（m×m）和B（n×n）相关的光滑方差和，其中m ≥ n。
• 利用振荡器表示，将方差和与向量值全纯Siegel模形式在B阶傅里叶系数上的泛函平方联系起来。
• 应用θ提升构造，从正交群O_A出发获得Hecke特征形式。
• 利用全纯cusp形式傅里叶系数的Ramanujan界，对n=1的情形推导出方差的精确上界。
• 利用方差公式分析在Siegel质量测度下，幺模格表示整数的概率。
• 将方差公式应用于推导正定二次曲面（d ≥ 3个变量）上p-整点的最优丢番图指数界。

实验结果

研究问题

• RQ1 光滑方差和的精确公式如何用Siegel模形式表达？
• RQ2 如何利用傅里叶系数的Ramanujan界，为n=1的情形推导出方差的精确上界？
• RQ3 在奇数（或偶数）幺模格（维度m）表示给定奇数（或偶数）整数的概率中，是否存在截断现象？
• RQ4 能否将正定d维二次曲面（d ≥ 3）上p-整点的丢番图指数改进为最优界？
• RQ5 方差公式对几乎所有偶幺模格的球体填充密度有何影响？

主要发现

• 本文建立了Siegel方差和的完整公式，其以O_A的θ提升所生成的Hecke特征形式的B阶傅里叶系数表示。
• 当n=1时，推导出一个精确上界，其阶为5113^(-t)，即幺模格表示给定偶整数2q的概率为≤5113^(-t)，其中截断点位于q ~ m/(2πe)。
• 确认了截断现象：当q ≤ m/(2πe) + (0.5/πe)log(m) - t - 1时，表示概率≤5113^(-t)；当q ≥ m/(2πe) + (1.6/πe)log(m) + t时，表示概率≥1 - 5113^(-t)，其中t = o(m)。
• 证明了几乎所有偶幺模格的球体填充密度为o(m^{2+ε}2^{-m})，且在μ₀测度下概率为1 + O(m^{-δ+ε})，其中δ > 0且ε > 0。
• 对任意正定d维二次曲面（d ≥ 3）上p-整点的丢番图指数，给出了最优界，优于Ghosh-Gorodnik-Nevo的先前最优界。
• 猜想1.2提出：当m足够大时，每个满足2q ≥ (1+ε)m/(2πe)的偶整数2q均可被每个偶幺模格表示，这意味着此类格的球体填充密度为(1+ε)^m 2^{-m}。