[论文解读] The signature package on Witt spaces, I. Index classes

Pierre Albin, Éric Leichtnam+2 more|ArXiv.org|Jun 8, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用 11

一句话总结

本文通过在 $C^*_r\widetilde{\Gamma}$-Mishchenko 纤维丛上构造签名算子的拟逆元，为满足 Witt 条件的 Witt 空间——即满足 Witt 条件的分层伪流形——建立了签名包的分析基础。本文证明了签名算子的固有自伴性、离散且有限重数的谱，并在 $K_*(C^*_r\widetilde{\Gamma})$ 中定义了一个与度量选择无关的明确定义的分析签名类，且验证了其与配装映射及 Kasparov 乘积结构的相容性。

ABSTRACT

We give a parametrix construction for the signature operator on any compact, oriented, stratified pseudomanifold X which satisfies the Witt condition. This construction is inductive. It is then used to show that the signature operator is essentially self-adjoint and has discrete spectrum of finite multiplicity, so that its index -- the analytic signature of X -- is well-defined. We then show how to couple this construction to a C^*_r(Gamma) Mischenko bundle associated to any Galois covering of X with covering group Gamma. The appropriate analogues of these same results are then proved, and it follows that we may define an analytic signature class as an element of the K-theory of C^*_r(Gamma). In a sequel to this paper we establish in this setting the full range of conclusions for this class which sometimes goes by the name of the signature package.

研究动机与目标

• 建立在满足 Witt 条件的紧致、定向、分层伪流形上分析签名类。
• 证明在这些空间上签名算子是固有自伴的，且具有离散、有限重数的谱。
• 为伽罗瓦覆叠上的 $C^*_r\Gamma$-Mishchenko 纤维丛扭签名算子定义并表征其指标类。
• 证明分析签名类与正则部分上适应黎曼度量的选择无关。
• 通过证明理论的分析侧，为完整的签名包奠定基础，包括与配装映射及 Kasparov 乘积结构的相容性。

提出的方法

• 基于分层结构的归纳法，为 Witt 空间上的签名算子构造拟逆元。
• 利用拟逆元证明签名算子的最大定义域在 $L^2_{\mathrm{iie}}$ 中是紧嵌入的。
• 证明签名算子的最小与最大定义域重合，从而推出其固有自伴性及离散有限重数谱。
• 定义在以群 $\Gamma$ 为结构群的伽罗瓦覆叠上、系数取自 Mishchenko 纤维丛的 $L^2$-形式的 $C^*_r\Gamma$-Hilbert 模。
• 从带 Mishchenko 纤维丛系数的签名算子构造一个无界 Kasparov $(\mathbb{C}, C^*_r\Gamma)$-双模。
• 证明指标类 $\mathrm{Ind}(\widetilde{\eth}_{\mathrm{sign}})$ 等于 Kasparov 乘积 $[\widetilde{C^*_r\Gamma}] \otimes [[\eth_{\mathrm{sign}}]]$，且与度量无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明 Witt 空间上的签名算子是固有自伴的，且具有离散、有限重数的谱？
• RQ2 如何在 $K_*(C^*_r\Gamma)$ 中为 Witt 空间的伽罗瓦覆叠定义分析签名类？
• RQ3 分析签名类是否与 Witt 空间正则部分上适应黎曼度量的选择无关？
• RQ4 指标类 $\mathrm{Ind}(\widetilde{\eth}_{\mathrm{sign}})$ 是否满足与 Mishchenko 纤维丛类的 Kasparov 乘积公式？
• RQ5 指标类是否与配装映射 $\beta: K_*(B\Gamma) \to K_*(C^*_r\Gamma)$ 相容？

主要发现

• 在任意紧致、定向、满足 Witt 条件的分层伪流形上，签名算子是固有自伴的，且具有离散有限重数谱。
• 签名算子的最大定义域在 $L^2_{\mathrm{iie}}$ 中是紧嵌入的，从而保证了最小与最大定义域的相等。
• 分析签名类 $[\eth_{\mathrm{sign}}] \in K_*(\widehat{X})$ 是良好定义的，且与正则部分上适应度量的选择无关。
• 指标类 $\mathrm{Ind}(\widetilde{\eth}_{\mathrm{sign}}) \in K_*(C^*_r\Gamma)$ 与适应度量的选择无关，且等于 Kasparov 乘积 $[\widetilde{C^*_r\Gamma}] \otimes [[\eth_{\mathrm{sign}}]]$。
• 指标类满足 $\beta(r_*[\eth_{\mathrm{sign}}]) = \mathrm{Ind}(\widetilde{\eth}_{\mathrm{sign}})$ 在 $K_*(C^*_r\Gamma)$ 中，确认了其与配装映射的相容性。
• 该构造产生了一个无界 Kasparov $(\mathbb{C}, C^*_r\Gamma)$-双模，从而在 $KK_*(\mathbb{C}, C^*_r\Gamma)$ 中实现了指标类。