[论文解读] The Singular Locus of the Theta Divisor and Quadrics through a Canonical Curve

Marco Matone, Roberto Volpato|ArXiv.org|Oct 11, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用 3

一句话总结

本文引入了一个新的关于雅加比曲线上典型曲线的第K节，作为刻画雅加比簇上theta除子奇异点集Θs的中心工具。通过利用全纯阿贝尔微分的行列式关系与组合恒等式，作者推导出全纯微分的典范基与Mumford形式在theta函数下的显式表达式，并表明K在任意亏格下推广了亏格4时的Hessian，提供了一个在雅加比簇上与特殊自旋结构处消失的模形式截面。

ABSTRACT

A section K on a genus g canonical curve C is identified as the key tool to prove new results on the geometry of the singular locus Theta_s of the theta divisor. The K divisor is characterized by the condition of linear dependence of a set of quadrics containing C and naturally associated to a degree g effective divisor on C. K counts the number of intersections of special varieties on the Jacobian torus defined in terms of Theta_s. It also identifies sections of line bundles on the moduli space of algebraic curves, closely related to the Mumford isomorphism, whose zero loci characterize special varieties in the framework of the Andreotti-Mayer approach to the Schottky problem, a result which also reproduces the only previously known case g=4. This new approach, based on the combinatorics of determinantal relations for two-fold products of holomorphic abelian differentials, sheds light on basic structures, and leads to the explicit expressions, in terms of theta functions, of the canonical basis of the abelian holomorphic differentials and of the constant defining the Mumford form. Furthermore, the metric on the moduli space of canonical curves, induced by the Siegel metric, which is shown to be equivalent to the Kodaira-Spencer map of the square of the Bergman reproducing kernel, is explicitly expressed in terms of the Riemann period matrix only, a result previously known for the trivial cases g=2 and g=3. Finally, the induced Siegel volume form is expressed in terms of the Mumford form.

研究动机与目标

• 开发一种新的几何方法，以刻画雅加比簇上典型曲线theta除子奇异点集Θs。
• 识别曲线上一个典范截面K，其编码Θs的几何结构，并与模空间中的特殊点集相关联。
• 将已知的亏格4结果（theta函数的Hessian在雅加比簇上消失）推广至任意亏格g ≥ 4。
• 显式表达模空间Mg上的Mumford形式与Siegel度量，以黎曼周期矩阵表示。
• 通过组合theta恒等式，构造在雅加比簇上与特殊自旋结构处精确消失的全纯截面。

提出的方法

• 引入与通过典型曲线的二次型线性相关性相关的截面K，其通过全纯阿贝尔微分的二重乘积的行列式关系定义。
• 利用对称积与行列式上的组合引理，将高阶theta导数与全纯微分关联。
• 应用Fay恒等式与Riemann的theta关系，将H⁰(KC)的典范基与Mumford形式以theta函数表达。
• 从Bergman核的Kodaira-Spencer映射推导出Mg上的Siegel度量，证明其与由黎曼周期矩阵诱导的度量等价。
• 对偶数亏格g ≥ 4，构造Mg上λ₁^{d_g}的模形式截面k(g)，通过素形式的乘积与微分的行列式定义。
• 通过反对称性与与行列式成比例的性质，证明k(g)在点与基的选择下不变，从而证明其对模数据的独立性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意亏格g ≥ 4，theta除子的奇异点集Θs如何从几何上刻画？
• RQ2 截面K在编码Θs的几何结构以及与模空间中特殊点集关联方面起什么作用？
• RQ3 亏格4的theta函数Hessian能否推广为在雅加比簇上消失的模形式截面，适用于更高亏格？
• RQ4 Mumford形式与Mg上的Siegel度量如何以黎曼周期矩阵显式表达？
• RQ5 在Mg上，于雅加比簇与特殊自旋结构处消失的全纯截面的结构为何？

主要发现

• 截面K是模空间Mg上一个线丛的全纯截面，其在雅加比簇上与具有偶数奇异自旋结构的曲线上精确消失。
• 当亏格g = 4时，K退化为theta函数的Hessian，重现了此前唯一通过模形式截面刻画雅加比簇的显式结果。
• 截面k(4) = A₄ det_{i,j∈I₄} θ_{ij}(e) 是M₄上λ₁³⁴的全纯截面，在双曲椭圆点集上消失阶为8，在偶数自旋点集上消失阶为1。
• 对偶数亏格g ≥ 4，截面k(g)与点和基的选择无关，且在Mg上定义了λ₁^{d_g}的全纯截面，其中d_g = (12−g)N_{g−3} + (g−2)[6(g−3)(g−4)+1]。
• Mumford形式通过截面K显式以theta函数表达，且Mg上的Siegel度量被证明与Bergman核平方的Kodaira-Spencer度量等价。
• 利用Fay恒等式与行列式组合技巧，显式推导出H⁰(KC)的典范基与Mumford形式中的常数κ[ω]，均以theta函数表示。