[论文解读] The singularities of $A_g^P$

Judith A. Armstrong, N. I. Shepherd‐Barron|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文完成了在特征零下，对主极化阿贝尔 $g$-倍积的完美锥紧化 $A_g^P$ 的奇点类型的完整证明，即当 $g = 5$ 时具有典范奇点，当 $g \geq 6$ 时具有终端奇点。该工作通过利用 Riemann–Shimizu–Todorov（RST）准则对群作用在切空间上的表示理论分析，强化了一个关键命题，从而弥补了早期研究中的漏洞。

ABSTRACT

We complete the proof given earlier by one of us that the singularities of the perfect cone compactification $A_g^P$ of the coarse moduli space $A_g$ of principally polarized abelian $g$-folds are terminal if $g\ge 6$, and canonical if $g=5$.

研究动机与目标

• 完成对 $A_g^P$ 在 $g \geq 5$ 时奇点类型的证明，纠正先前工作中论证不完整的部分。
• 确立在特征零下，当 $g = 5$ 时 $A_g^P$ 具有典范奇点，当 $g \geq 6$ 时具有终端奇点。
• 通过群在切空间上的表示理论分析，强化命题 3.2，从而弥补 Shephard-Barron 早期证明中的漏洞。
• 应用 Riemann–Shimizu–Todorov（RST）准则，通过群元素特征值的分数部分来确定奇点类型。

提出的方法

• 应用 RST 准则分析商叠层 $[\mathcal{X}/G]$ 的奇点，其中 $\mathcal{X}$ 是一个关于 torus 嵌入的 $G$-等变丛。
• 定义 $\lambda_{Y,P}(s)$ 为在点 $P$ 处的切空间 $T_{Y,P}$ 上，群元素 $s$ 的所有特征值 $\zeta$ 对应的 $\arg(\zeta)/2\pi$ 之和，该值决定奇点类型。
• 利用有限群 $G$ 在光滑簇 $Y$ 上的作用，将问题归约为验证对所有非单位元 $s \in G$，有 $\lambda_{Y,P}(s) \geq 1$（典范）或 $>1$（终端）。
• 分析 $G$ 在 $\mathrm{Sym}^2 W \oplus (W \otimes \Lambda)$ 上的表示，其中 $W = H^0(C, \Omega^1_C)^\vee$ 且 $\Lambda = \mathbb{Z}^r$，以计算 $\lambda$-值。
• 使用 $G$-等变的解析解 $\widetilde{X} \to X$，并分析其在例外除子上的作用，以确保 $G$ 在余维数一的集合上自由作用。
• 应用 Snurnikov 的定理，当 $h = 0$ 时，将奇点类型的结果从开 torus 推广至完整的紧化空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 完美锥紧化 $A_g^P$ 在 $g = 5$ 时是否具有典范奇点？
• RQ2 在特征零下，$A_g^P$ 在 $g \geq 6$ 时是否具有终端奇点？
• RQ3 先前文献 [SB] 中该结果的证明是否完整，是否存在论证漏洞？
• RQ4 RST 准则是否能通过群表示分析有效应用于 $A_g^P$ 的 toroidal 紧化？
• RQ5 作用在切空间上的群元素的特征值如何决定奇点的类型？

主要发现

• 在特征零下，$A_g^P$ 的奇点在 $g = 5$ 时为典范奇点，在 $g \geq 6$ 时为终端奇点。
• 通过用对群作用在 $\mathrm{Sym}^2 W$ 和 $V = \mathrm{Sym}^2 W \oplus (W \otimes \Lambda)$ 上的 $\lambda$-值的精细分析，替代了 [SB] 中论证不足的命题，从而完成证明。
• 当 $g \geq 6$ 时，只要 $s|_W \neq \pm 1$，就有 $\lambda_{\mathrm{Sym}^2 W}(s) > 1$，从而保证终端奇点。
• 当 $\lambda_V(s) < 1$ 时，唯一可能是 $h = 1$，$s|_W = -1$，$s|_{\Lambda_\mathbb{Q}} = (1, (-1)^{r-1})$，且 $\lambda_V(s) = 1/2$，但该情形在更高 $g$ 时被排除。
• 当 $h = 0$ 时，通过 Snurnikov 定理解决，本文中对该情形给出了关于 $G$-等变 torus 嵌入的自-contained 证明。
• $G$-作用在解析解上被证明在余维数一的集合上自由，确保 RST 准则适用，且奇点类型得以保持。