[论文解读] The singularities of the invariant metric on the line bundle of Jacobi forms

José Ignacio Burgos Gil, Ulf Kühn+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文将Mumford关于纯自守线丛上不变度量的推广定理扩展至混合Shimura簇，特别是全纯椭圆曲线。研究发现，由于雅可比形式线丛度量中存在余维二奇点，标准推广方法失效，提出通过b-除子实现函子性、Chern-Weil理论相容性以及雅可比形式渐近维数的Hilbert-Samuel公式。

ABSTRACT

A theorem by Mumford implies that every automorphic line bundle on a pure open Shimura variety, equipped with an invariant smooth metric, can be uniquely extended as a line bundle on a toroidal compactification of the variety, in such a way that the metric acquires only logarithmic singularities. This result is the key of being able to compute arithmetic intersection numbers from these line bundles. Hence it is natural to ask whether Mumford's result remains valid for line bundles on mixed Shimura varieties. In this paper we examine the simplest case, namely the sheaf of Jacobi forms on the universal elliptic curve. We show that Mumford's result cannot be extended directly to this case and that a new interesting kind of singularities appears. By using the theory of b-divisors, we show that an analogue of Mumford's extension theorem can be obtained. We also show that this extension is meaningful because it satisfies Chern-Weil theory and a Hilbert-Samuel type of formula.

研究动机与目标

• 研究Mumford在纯Shimura簇上关于不变度量的定理是否可推广至混合Shimura簇，特别是全纯椭圆曲线。
• 分析全息椭圆曲线上雅可比形式线丛上平移不变度量的行为。
• 解决全息椭圆曲线朴素紧化中函子性失效与Chern-Weil理论不成立的问题。
• 提出一种基于b-除子的新推广框架，以恢复函子性与几何一致性。
• 建立一个Hilbert-Samuel型公式，将雅可比形式空间的渐近维数与扩展b-除子的自交数联系起来。

提出的方法

• 引入b-ℚ- Cartier除子作为雅可比形式线丛的正确推广，涵盖所有托里型紧化。
• 通过一个非分段线性但为圆锥型的函数Ψ_sing，定义具有余维二集中对数型奇点的奇异度量。
• 利用环面b-除子理论与凸稳定性集Δ_sing，建模度量的渐近行为。
• 通过稳定性集Δ_sing的体积计算b-除子的自交数，证明其等于2·Vol(Δ_sing)。
• 通过证明度量的特征形式积分等于b-除子的陈类，建立奇异度量的Chern-Weil理论。
• 通过将雅可比形式的渐近维数与b-除子的自交数关联，推导出Hilbert-Samuel公式，并显式计算体积差值。

实验结果

研究问题

• RQ1 Mumford关于纯Shimura簇上不变度量的推广定理能否推广至混合Shimura簇，如全息椭圆曲线？
• RQ2 在全息椭圆曲线上，雅可比形式线丛上不变度量中出现的奇点具有何种性质？
• RQ3 是否存在一种函子性且几何一致的方式，将带有奇异度量的雅可比形式线丛推广至紧化？
• RQ4 当通过b-除子推广时，奇异度量的Chern-Weil理论是否成立？
• RQ5 能否建立一个Hilbert-Samuel型公式，将雅可比形式空间的渐近维数与b-除子的自交数联系起来？

主要发现

• 朴素推广的雅可比形式线丛与不变度量在余维二奇点下不满足函子性，且不满足Chern-Weil理论。
• 正确的推广是b-ℚ-Cartier除子，确保在所有托里型紧化下保持函子性。
• b-除子的自交数为2·Vol(Δ_sing)，其中Δ_sing = {(x,y) ∈ (ℝ²)∨ | x,y ≥ 0, x+y ≤ 1, √x + √y ≥ 1}。
• 朴素推广与b-除子自交数的差值恰好为1/3，计算得∑_{n>0,m>0,(n,m)=1} 1/(n²m²(n+m)²) = 1/3。
• 奇异度量的Chern-Weil理论成立：度量的特征形式积分等于b-除子的陈类。
• 建立了Hilbert-Samuel型公式，将雅可比形式空间的渐近维数与b-除子的自交数联系起来，体积差值恰好对应1/3的修正项。