[论文解读] The sixth Painleve equation as similarity reduction of b gl 3 hierarchy

Saburo Kakei, Tetsuya Kikuchi|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2005

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文研究了 b gln 型 Drinfel'd-Sokolov 层次的标度对称性，并应用相似性约化推导出具有 (n + 1) 个正则奇点的 Schlesinger 方程；当 n = 3 时，约化得到六阶 Painlevé 方程，从而在可积层次与 Painlevé 超越函数之间建立了直接联系。

ABSTRACT

Scaling symmetry of b gln-type Drinfel’d-Sokolov hierarchy is investigated. Applying similarity reduction to the hierarchy, one can obtain the Schlesinger equation with (n + 1) regular singularities. Especially in the case of n = 3, the hierarchy contains the three-wave resonant system and the similarity reduction

研究动机与目标

• 分析 b gln 型 Drinfel'd-Sokolov 层次的标度对称性。
• 研究相似性约化如何将层次转化为具有正则奇点的系统。
• 识别出当 n = 3 时，可得到六阶 Painlevé 方程。
• 通过此约化过程，建立可积层次与 Painlevé 超越函数之间的联系。

提出的方法

• 利用标度对称性对 b gln 型 Drinfel'd-Sokolov 层次应用相似性约化。
• 推导出具有 (n + 1) 个正则奇点的 Schlesinger 方程作为约化后的系统。
• 聚焦于 n = 3 的情形，详细研究所得系统。
• 识别出三波共振系统是 b gl3 层次的一个组成部分。
• 证明 b gl3 层次的相似性约化可导出六阶 Painlevé 方程。
• 利用层次的结构将其与已知的可积系统和 Painlevé 方程联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 b gln 型 Drinfel'd-Sokolov 层次的标度对称性如何导致相似性约化？
• RQ2 当对 b gl3 层次应用相似性约化时，会涌现出何种系统？
• RQ3 六阶 Painlevé 方程如何作为 b gl3 层次的约化结果实现？
• RQ4 三波共振系统在 b gl3 层次中扮演什么角色？
• RQ5 具有四个正则奇点的 Schlesinger 方程在此情境下的意义是什么？

主要发现

• b gln 型 Drinfel'd-Sokolov 层次的相似性约化导出具有 (n + 1) 个正则奇点的 Schlesinger 方程。
• 当 n = 3 时，该层次包含三波共振系统作为其组成部分。
• 相似性约化过程在 n = 3 的情况下导出六阶 Painlevé 方程。
• 具有四个正则奇点的系统对应于六阶 Painlevé 方程。
• 该约化建立了 b gl3 层次与 Painlevé 超越函数之间的直接联系。
• 标度对称性在生成具有正则奇点的约化可积系统中起着关键作用。