[论文解读] The Smale conjecture for Seifert fibered spaces with hyperbolic base orbifold

Darryl McCullough, Teruhiko Soma|arXiv (Cornell University)|May 27, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文证明了具有双曲底面轨道丛的纤维化3-流形的Smale猜想，表明微分同胚群的单位连通分支要么是可缩的，要么同伦等价于圆周，具体取决于基本群中心是否平凡或无限循环。该结果建立了非哈肯流形在$\Theta^2\times\mathbb{R}$或$\widetilde{\mathrm{SL}_2}(\mathbb{R})$几何结构下，等距同构群与完整微分同胚群之间的同伦等价关系。

ABSTRACT

Let M be a closed orientable Seifert fibered 3-manifold with a hyperbolic base 2-orbifold, or equivalently, admitting a geometry modeled on H^2 imes R or the universal cover of SL(2,R). Our main result is that the connected component of the identity map in the diffeomorphism group Diff(M) is either contractible or homotopy equivalent to the circle, according as the center of the fundamental group of M is trivial or infinite cyclic. Apart from the remaining case of non-Haken infranilmanifolds, this completes the homeomorphism classifications of Diff(M) and of the space of Seifert fiberings of M for all compact orientable aspherical 3-manifolds. We also prove that when the base orbifold of M is hyperbolic with underlying manifold the 2-sphere with three cone points, the inclusion from the isometry group Isom(M) to Diff(M) is a homotopy equivalence.

研究动机与目标

• 完成对紧致定向双曲3-流形的微分同胚群Diff(M)同伦类型的分类。
• 在Smale猜想框架下解决非哈肯纤维化3-流形中剩余的未解情况，即具有双曲底面轨道丛的非哈肯纤维化3-流形。
• 建立非哈肯流形在$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$或$\widetilde{\mathrm{SL}_2}(\mathbb{R})$几何结构下，等距同构群到微分同胚群的包含映射为同伦等价。
• 证明此类流形的纤维化空间SF(M)是可缩的，从而完成纤维化在同伦等价下的分类。
• 通过解决最后一个未解情况，统一所有紧致定向双曲3-流形的微分同胚群同伦分类。

提出的方法

• 利用Gabai工作中的绝缘体方法分析微分同胚的同伦类。
• 应用Hatcher与Ivanov关于哈肯3-流形微分同胚群的结果作为基础情形。
• 通过映射$\operatorname{Diff}_f(M) \to \operatorname{Diff}^{\mathrm{orb}}(O)$建立纤维丛序列，其中$O$为底面轨道丛。
• 将纤维$\operatorname{Diff}_v(M) \cap \operatorname{diff}_f(M)$分析为$\operatorname{diff}_v(M)$，即垂直微分同胚，利用引理8.2。
• 利用$\operatorname{diff}^{\mathrm{orb}}(O)$的可缩性（等价于$\operatorname{diff}(S^2 \setminus \{\text{三个点}\})$）推导出同伦等价关系。
• 通过逐连通分支分析与轨道丛同伦提升，证明包含映射$\operatorname{Isom}(M) \to \operatorname{Diff}_f(M)$是同伦等价，从而建立$\operatorname{Isom}(M)$与$\operatorname{Diff}(M)$之间的同伦等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有双曲底面轨道丛的纤维化3-流形，其微分同胚群单位连通分支的同伦类型是什么？
• RQ2 对于具有$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$或$\widetilde{\mathrm{SL}_2}(\mathbb{R})$几何结构的非哈肯流形，等距同构群到微分同胚群的包含映射是否诱导同伦等价？
• RQ3 此类流形的纤维化空间$\operatorname{SF}(M)$是否可缩？
• RQ4 在该类3-流形中，$\pi_1(M)$的中心如何决定$\operatorname{diff}(M)$的同伦类型？
• RQ5 Smale猜想能否推广至具有双曲底面轨道丛的非哈肯纤维化3-流形？

主要发现

• 微分同胚群的单位连通分支$\operatorname{diff}(M)$在$\pi_1(M)$中心平凡时为可缩空间，在中心为无限循环群时同伦等价于$S^1$。
• 对于底面轨道丛为带三个锥点的2-球面、且具有$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$或$\widetilde{\mathrm{SL}_2}(\mathbb{R})$几何结构的非哈肯纤维化3-流形，包含映射$\operatorname{Isom}(M) \to \operatorname{Diff}(M)$是同伦等价。
• $\operatorname{SF}(M)$，即$M$的纤维化空间，在闭合定向纤维化3-流形具有双曲底面轨道丛时为可缩空间。
• 包含映射$\operatorname{Diff}_f(M) \to \operatorname{Diff}(M)$是同伦等价，意味着保持纤维的微分同胚捕捉了$\operatorname{Diff}(M)$的完整同伦类型。
• 该结果完成了对紧致定向双曲3-流形的$\operatorname{Diff}(M)$同胚分类，仅剩非哈肯仿尼尔流形的情况尚未解决。
• 当$M$具有最大对称几何结构且非非哈肯仿尼尔流形时，同伦等价$\operatorname{Isom}(M) \to \operatorname{Diff}(M)$成立。