[论文解读] The Small Maturity Implied Volatility Slope for L\'evy Models

Stefan Gerhold, I. Cetin Gülüm|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文利用梅林变换渐近分析方法，研究了在无限活动指数 Lévy 模型中，当到期期限趋于零时，平值隐含波动率斜率的极限行为。主要贡献在于精确量化了斜率的增长速率，将其与模型的跳变活动性联系起来，并与李氏矩公式中关于微笑翼部陡峭程度的结论相联系。

ABSTRACT

We consider the at-the-money strike derivative of implied volatility as the maturity tends to zero. Our main results quantify the growth of the slope for infinite activity exponential Levy models. As auxiliary results, we obtain the limiting values of short maturity digital call options, using Mellin transform asymptotics. Finally, we discuss when the at-the-money slope is consistent with the steepness of the smile wings, as given by Lee's moment formula.

研究动机与目标

• 量化无限活动指数 Lévy 模型中，当到期期限趋于零时，平值隐含波动率斜率的增长速率。
• 利用梅林变换渐近分析方法，推导短期数字看涨期权的极限值。
• 检验由李氏矩公式描述的平值斜率与隐含波动率微笑翼部陡峭程度之间的一致性。

提出的方法

• 应用梅林变换渐近分析方法，研究在短期到期极限下数字看涨期权的行为。
• 推导无限活动 Lévy 过程下标的资产价格的极限分布。
• 利用特征函数与累积量生成函数，刻画隐含波动率曲面的小时间行为。
• 通过在到期期限趋于零的极限下使用展开技术，显式计算平值隐含波动率斜率。
• 将推导出的斜率与李氏矩公式给出的微笑翼部陡峭程度的理论边界进行比较。
• 分析 Lévy 过程的跳变活动性对隐含波动率微笑近平值区域曲率的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限活动指数 Lévy 模型中，当到期期限趋于零时，平值隐含波动率斜率的行为如何？
• RQ2 在这些模型的短期到期范围内，数字看涨期权的极限值是什么？
• RQ3 平值斜率在多大程度上与李氏矩公式预测的隐含波动率微笑翼部陡峭程度一致？
• RQ4 Lévy 过程的跳变活动性如何影响隐含波动率曲面的渐近斜率？
• RQ5 梅林变换渐近分析能否为 Lévy 模型中隐含波动率的小时间行为提供精确的定量估计？

主要发现

• 对于具有无限变差路径的无限活动 Lévy 模型，平值隐含波动率斜率的增长速率与时间的平方根倒数成正比。
• 利用梅林变换渐近分析方法，推导出短期到期数字看涨期权的极限值，提供了精确的小时间近似。
• 在适当的矩条件之下，隐含波动率曲面的斜率被证明与李氏矩公式给出的微笑翼部陡峭程度的上界一致。
• 具有无限跳变活动性的模型在短期内表现出比有限活动模型更陡的隐含波动率斜率。
• 斜率的渐近行为关键取决于布卢门萨尔-盖托尔指数，该指数刻画了 Lévy 过程的跳变活动性。
• 推导出的斜率表达式使得模型隐含波动率动态与到期前实际市场微笑形态之间可直接比较。