[论文解读] The $SO(3) imes SO(3) imes U(1)$ Hubbard model on a square lattice in terms of $c$ and $\alpha u$ fermions and deconfined $\eta$-spinons and spinons

J. M. P. Carmelo|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2010

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 46被引用 5

一句话总结

本文通过使用 $c$ 费米子、自旋子和 $\eta$-自旋子，在正方晶格上引入了 $SO(3) \times SO(3) \times U(1)$ 费米子哈伯德模型的费米子表示，其中通过幺正变换涌现出复合的 $su$ 和 $\eta u$ 费米子。该方法构建了一个在 $SU(2) \times SU(2) \times U(1)$ 对称性下不变的完整且物理意义明确的态基，实现了自旋与 $\eta$-自旋自由度的禁闭解除描述。

ABSTRACT

In this paper a description of the energy eingenstates of the Hubbard model on the square lattice with nearest-neighbor transfer integral $t$, on-site repulsion $U$, and $N_a^2\gg 1$ sites in terms of occupancy configurations of charge $c$ fermions, spin-1/2 spinons, and $\eta$-spin-1/2 $\eta$-spinons is introduced. Such objects emerge from a suitable electron - rotated-electron unitary transformation. In chromodynamics the quarks have color but all quark-composite physical particles are color-neutral. Within our description the $\eta$-spinon (and spinons) that are not invariant under the electron - rotated-electron unitary transformation have $\eta$ spin 1/2 (and spin 1/2) but are part of $\eta$-spin-neutral (and spin-neutral) $2 u$-$\eta$-spinon (and $2 u$-spinon) composite $\eta u$ fermions (and $s u$ fermions). Here $ u=1,2,...$ is the number of $\eta$-spinon (and spinon) pairs. In turn, a well-defined number of independent spinons and independent $\eta$-spinons are invariant under the electron - rotated-electron unitary transformation. Simple occupancy configurations of (i) the $c$ fermions, (ii) independent spinons and $2 u$-spinon composite $s u$ fermions, and (iii) independent $\eta$-spinons and $2 u$-$\eta$-spinon composite $\eta u$ fermions generate an useful complete set of states. The configurations (i), (ii), and (iii) correspond to the state representations of the U(1), spin SU(2), and $\eta$-spin SU(2) symmetries, respectively, associated with the model $SO(3) imes SO(3) imes U(1) =[SU(2) imes SU(2) imes U(1)]/Z_2^2$ global symmetry.

研究动机与目标

• 为具有 $N_a^2 \gg 1$ 个格点的正方晶格哈伯德模型，构建能量本征态的完整且物理一致的态基。
• 通过引入经幺正变换产生的复合费米子，解决以禁闭解除方式描述自旋与 $\eta$-自旋自由度的挑战。
• 识别在电子-旋转电子幺正变换下不变的独立自旋子与 $\eta$-自旋子，确保规范不变的物理态。
• 建立对应于 $SO(3)\times SO(3)\times U(1)$ 全局对称群的 $U(1)$、$SU(2)$ 与 $\eta$-$SU(2)$ 对称性的态表示。
• 提供一个框架，使得 $2u$-自旋子与 $2u$-$\eta$-自旋子复合态（即 $su$ 与 $\eta u$ 费米子）为色中性，类似于量子色动力学中的强子，从而确保可观测性。

提出的方法

• 通过电子到旋转电子的幺正变换，定义新的费米子准粒子：$c$ 费米子、自旋子与 $\eta$-自旋子。
• 将复合的 $su$ 与 $\eta u$ 费米子分别定义为 $2u$ 自旋子与 $2u$ $\eta$-自旋子的束缚态，确保 $\eta$-自旋与自旋中性。
• 通过 $c$ 费米子、独立自旋子与 $su$ 费米子，以及独立 $\eta$-自旋子与 $\eta u$ 费米子的占据构型，构建完整的态基。
• 利用 $SO(3)\times SO(3)\times U(1) = [SU(2)\times SU(2)\times U(1)]/Z_2^2$ 全局对称性，根据其在 $U(1)$、自旋 $SU(2)$ 与 $\eta$-自旋 $SU(2)$ 下的变换性质对态进行分类。
• 确保仅规范不变的构型——即独立费米子及其复合态 $su$ 与 $\eta u$——贡献于物理希尔伯特空间。
• 使用 $u=1,2,\dots$ 标记 $2u$ 自旋子与 $\eta$-自旋子对，实现对复合费米子态的系统性枚举。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过禁闭解除的自旋子与 $\eta$-自旋子自由度，系统地描述正方晶格上哈伯德模型的能量本征态？
• RQ2 电子-旋转电子幺正变换在分离物理准粒子与规范变分组分中起到什么作用？
• RQ3 复合的 $su$ 与 $\eta u$ 费米子如何作为物理的、$\eta$-自旋与自旋中性的物体涌现，类似于量子色动力学中的强子？
• RQ4 由 $c$ 费米子、独立自旋子与独立 $\eta$-自旋子构成的完整态基的结构是什么？它们如何实现 $SO(3)\times SO(3)\times U(1)$ 对称性？
• RQ5 全局对称性 $[SU(2)\times SU(2)\times U(1)]/Z_2^2$ 中的 $Z_2^2$ 商在费米子态构造中如何体现？

主要发现

• 哈伯德模型的能量本征态完全由 $c$ 费米子、独立自旋子、$su$ 费米子、独立 $\eta$-自旋子与 $\eta u$ 费米子的占据构型描述。
• 复合的 $su$ 与 $\eta u$ 费米子分别作为 $2u$ 自旋子与 $2u$ $\eta$-自旋子的 $\eta$-自旋中性与自旋中性束缚态，确保可观测性。
• 独立自旋子与 $\eta$-自旋子在电子-旋转电子幺正变换下不变，使其适于构建规范不变的基。
• 该态基是完整的，并尊重 $SO(3)\times SO(3)\times U(1)$ 全局对称性，其中 $c$ 费米子变换于 $U(1)$，自旋子变换于自旋 $SU(2)$，$\eta$-自旋子变换于 $\eta$-自旋 $SU(2)$。
• 该框架提供了自旋与 $\eta$-自旋自由度的禁闭解除描述，类似于量子色动力学中的强子化，其中 $su$ 与 $\eta u$ 费米子为物理的复合粒子。
• $2u$-费米子复合态的 $u=1,2,\dots$ 标记允许对希尔伯特空间中物理态进行系统且无冗余的枚举。