[论文解读] The Sparsest Additive Spanner via Multiple Weighted BFS Trees

Keren Censor-Hillel, Ami Paz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 2

一句话总结

本文提出了一种新颖的序列算法，用于构建边数为Õ(n⁴/³)的(+6)-加法近似生成树——在次多项式因子范围内为最稀疏的可能——该算法使用了多个加权BFS树。此外，本文还设计了一种在CONGEST模型下的分布式实现，该实现可在|S| + D − 1轮内构建这些树，从而实现了首个高效且最优的(+6)-近似生成树的分布式构造。

ABSTRACT

Spanners are fundamental graph structures that sparsify graphs at the cost of small stretch. In particular, in recent years, many sequential algorithms constructing additive all-pairs spanners were designed, providing very sparse small-stretch subgraphs. Remarkably, it was then shown that the known (+6)-spanner constructions are essentially the sparsest possible, that is, larger additive stretch cannot guarantee a sparser spanner, which brought the stretch-sparsity trade-off to its limit. Distributed constructions of spanners are also abundant. However, for additive spanners, while there were algorithms constructing (+2) and (+4)-all-pairs spanners, the sparsest case of (+6)-spanners remained elusive. We remedy this by designing a new sequential algorithm for constructing a (+6)-spanner with the essentially-optimal sparsity of O~(n^{4/3}) edges. We then show a distributed implementation of our algorithm, answering an open problem in [Keren Censor{-}Hillel et al., 2016]. A main ingredient in our distributed algorithm is an efficient construction of multiple weighted BFS trees. A weighted BFS tree is a BFS tree in a weighted graph, that consists of the lightest among all shortest paths from the root to each node. We present a distributed algorithm in the CONGEST model, that constructs multiple weighted BFS trees in |S|+D-1 rounds, where S is the set of sources and D is the diameter of the network graph.

研究动机与目标

• 为构建最稀疏的加法近似生成树（特别是(+6)-近似生成树）的分布式算法填补空白。
• 设计一种分布式算法，实现(+6)-近似生成树在Õ(n⁴/³)条边的理论最优稀疏性。
• 解决在CONGEST模型中高效构造多个加权BFS树的开放问题，且轮数复杂度最低。
• 通过随机化边加权和使用最轻最短路径，实现在无向图中一致的最短路径选择。

提出的方法

• 提出一种新的序列算法，通过聚类和路径购买阶段，构建边数为Õ(n⁴/³)的(+6)-近似生成树。
• 引入从源点集合S出发的多个加权BFS（WBFS）树的分布式构造方法，其中每棵树包含从源点到每个节点的所有最短路径中权重最小的一条。
• 通过边加权来区分所需边，对边分配随机多项式权重，利用隔离引理以高概率确保最轻最短路径的唯一性。
• 执行聚类阶段，其中节点以概率c/(n¹/³ log¹/³ n)成为聚类中心，随后通过WBFS树进行路径购买阶段，以最小化缺失边。
• 实施“购买”阶段，消息沿WBFS树反向传播，以避免拥塞，确保轮数复杂度为O(|S| + D)。
• 采用随机化策略，每个聚类中心独立决定是否“购买”通往其他中心的路径，基于缺失边的数量，从而确保稀疏性和拉伸保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能在CONGEST模型中，通过分布式算法在Õ(n⁴/³)条边的近似最优稀疏性下构造出(+6)-近似生成树？
• RQ2 是否可能在O(|S| + D)轮内构造多个加权BFS树，且不因边权重引入额外开销？
• RQ3 如何通过加权BFS树在无向图中以高概率计算一致的最短路径？
• RQ4 在通信量最小的分布式环境中，构造最优(+6)-近似生成树的轮数复杂度是多少？
• RQ5 能否利用加权BFS树构造最轻最短路径的方法，来解决更广泛的分布式图问题？

主要发现

• 本文首次实现了边数为Õ(n⁴/³)的(+6)-近似生成树的分布式构造，其稀疏性与已知的序列下界完全一致。
• 分布式WBFS树构造在|S| + D − 1轮内完成，渐近最优，且不因边权重引入额外开销。
• 以高概率，聚类中心数量为O(n²/³ / log¹/³ n)，确保近似生成树保持稀疏性。
• 路径购买阶段采用随机选择策略，确保拉伸度至多为+6，同时最小化边的添加数量。
• 该算法保证最终近似生成树的边数为O(n⁴/³)条，以高概率成立，且构造过程在O(n²/³ / log¹/³ n + D)轮内完成。
• 该方法通过分配随机多项式权重并使用最轻最短路径，实现了无向图中的一致最短路径计算，该技术可能在近似生成树构造之外也具有广泛应用价值。