[论文解读] The spectra of generalized Paley graphs and their associated irreducible cyclic codes.

Ricardo A. Podestá, Denis E. Videla|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文建立了广义 Paley 图 Γ(k,q) 的谱与它们对应的不可约 p-进循环码 𝒞(k,q) 之间的直接对应关系，表明在条件 k ∣ (q−1)/(p−1) 下，图的特征值与码的重量分布相互决定。通过高斯指数显式计算了半初等情形下的谱，并将结果应用于减少 Artin-Schreier 曲线上的有理点数量以及计算高斯指数。

ABSTRACT

For $q=p^m$ with $p$ prime and $k\mid q-1$, we consider the generalized Paley graph $\Gamma(k,q) = Cay(\mathbb{F}_q, R_k)$, with $R_k=\{ x^k : x \in \mathbb{F}_q^* \}$, and the irreducible $p$-ary cyclic code $\mathcal{C}(k,q) = \{( extrm{Tr}_{q/p}(\gamma \omega^{ik})_{i=0}^{n-1})\}_{\gamma \in \mathbb{F}_q}$, with $\omega$ a primitive element of $\mathbb{F}_q$ and $n= frac{q-1}{k}$. We compute the spectra of $\Gamma(k,q)$ in terms of Gaussian periods and give $Spec(\Gamma(k,q))$ explicitly in the semiprimitive case. We then show that the spectra of $\Gamma(k,q)$ and $\mathcal{C}(k,q)$ are mutually determined by each other if further $k\mid frac{q-1}{p-1}$. Also, we use known characterizations of generalized Paley graphs which are cartesian decomposable to explicitly compute the spectra of the corresponding associated irreducible cyclic codes. As applications, we give reduction formulas for the number of rational points in Artin-Schreier curves and to the computation of Gaussian periods.

研究动机与目标

• 建立广义 Paley 图的谱与其关联的不可约循环码之间的相互决定关系。
• 在半初等情形下，利用高斯指数显式计算图 Γ(k,q) 的特征值谱。
• 应用谱结果推导 Artin-Schreier 曲线在有限域上其有理点数量的简化公式。
• 利用广义 Paley 图的笛卡尔可分解性的已知刻画，计算其关联码的谱。

提出的方法

• 将广义 Paley 图 Γ(k,q) 定义为 𝔽_q 上的凯莱图，其连接集为 R_k = {x^k : x ∈ 𝔽_q^*}，其中 k ∣ q−1。
• 通过迹函数 Tr_{q/p}(γω^{ik}) 表示不可约循环码 𝒞(k,q)，其中 γ ∈ 𝔽_q，ω 是 𝔽_q 的本原元。
• 将 Γ(k,q) 的谱用高斯指数表示，特别是在乘法阶条件成立的半初等情形下。
• 在条件 k ∣ (q−1)/(p−1) 下，建立图的特征值与码的重量分布之间的对偶关系。
• 利用广义 Paley 图笛卡尔可分解性的已知结果，推导其关联码的显式谱公式。
• 将谱结果应用于减少 Artin-Schreier 曲线上的有理点数量，并计算高斯指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义 Paley 图 Γ(k,q) 的谱与其关联的不可约循环码 𝒞(k,q) 的重量分布之间有何关系？
• RQ2 在半初等情形下，Γ(k,q) 的谱的显式形式是什么？
• RQ3 在何种条件下，图的谱与码的谱能够相互决定？
• RQ4 广义 Paley 图的谱性质如何用于减少 Artin-Schreier 曲线上的有理点数量？
• RQ5 已知的结构性质（如广义 Paley 图的笛卡尔可分解性）是否能导致其关联码谱的显式计算？

主要发现

• 广义 Paley 图 Γ(k,q) 的谱完全由高斯指数决定，并在半初等情形下给出了显式公式。
• 当 k 整除 (q−1)/(p−1) 时，Γ(k,q) 的谱与关联码 𝒞(k,q) 的谱相互决定：掌握其中一个即可完全确定另一个。
• 谱结果使得有限域上 Artin-Schreier 曲线有理点数量的简化公式得以建立。
• 对于笛卡尔可分解的广义 Paley 图，其关联的不可约循环码的谱可通过图的谱结构显式计算。
• 该框架提供了一种利用广义 Paley 图的谱数据计算高斯指数的新方法。
• 结果在图论、编码理论与有限域上的算术几何之间建立了深刻的代数联系。