[论文解读] The spectra of generalized Paley graphs of $(q^\ell+1)$-th powers and applications

Ricardo A. Podestá, Denis E. Videla|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文提出了一类基于有限域 $\mathbb{F}_{q^m}$ 中 $(q^{u}+1)$-次幂的新广义 Paley 图，计算了其精确谱和能量，并证明了它们是整数谱、强正则且非二分图。主要贡献在于在所有特征下构造了无限多组整数谱 Ramanujan 图，并解决了指数为 $q^\ell+1$ 的 Waring 问题，证明了 $g(q^\ell+1, q^m) = 1$ 或 $2$。结果还给出了等能量但非同谱的图对，并推导出显式的 Ihara zeta 函数。

ABSTRACT

We consider a special class of generalized Paley graphs over finite fields, namely the Cayley graphs with vertex set $\mathbb{F}_{q^m}$ and connection set the nonzero $(q^\ell+1)$-th powers in $\mathbb{F}_{q^m}$, as well as their complements. We explicitly compute the spectrum and the energy of these graphs. As a consequence, the graphs turn out to be (with trivial exceptions) simple, connected, non-bipartite, integral and strongly regular, of pseudo or negative Latin square type. By using the spectral information we compute several invariants of these graphs. We exhibit infinitely many pairs of equienergetic non-isospectral graphs. As applications, on the one hand we solve Waring's problem over $\mathbb{F}_q^m$ for the exponents $q^\ell+1$, for each $q$ and for infinitely many values of $\ell$ and $m$. We obtain that the Waring's number $g(q^\ell+1,q^m)=1$ or $2$, depending on $m$ and $\ell$, thus solving some open cases. On the other hand, we construct infinite towers of Ramanujan graphs in all characteristics. Finally, we give the Ihara zeta functions of these graphs.

研究动机与目标

• 研究由 $\mathbb{F}_{q^m}$ 中 $(q^\\ell+1)$-次幂定义的新一类广义 Paley 图的谱性质与结构特性。
• 在所有特征下构造无限多组整数谱、非二分图、Ramanujan 图。
• 解决 $\mathbb{F}_{q^m}$ 上指数为 $q^\ell+1$ 的 Waring 问题，确定 Waring 数 $g(q^\ell+1, q^m)$。
• 构造无限多对整数谱、等能量但非同谱的图。
• 计算这些图及其补图的 Ihara zeta 函数，并通过 zeta 函数恒等式推导其复杂度。

提出的方法

• 定义 Cayley 图 $\Gamma_{q,m}(\ell)$，其顶点集为 $\mathbb{F}_{q^m}$，连接集为 $\mathbb{F}_{q^m}^*$ 中非零的 $(q^\ell+1)$-次幂。
• 利用二次型 $Q_{\gamma,\ell}(x) = \operatorname{Tr}_{q^m/q}(\gamma x^{q^\ell+1})$ 上的指数和来计算特征值及其重数。
• 应用有限域上二次型的秩与类型已知结果，对 $\Gamma_{q,m}(\ell)$ 的谱进行分类。
• 利用谱对偶性与特征值互补性，推导补图 $\bar{\Gamma}_{q,m}(\ell)$ 的谱。
• 使用 Ihara zeta 函数的行列式公式 $\zeta_\Gamma(t)^{-1} = (1-t^2)^{e-n} \prod_{i=1}^n Q(\lambda_i, t)$，其中 $Q(s,t) = 1 - st + (k-1)t^2$。
• 通过 Kirchhoff 公式，结合 zeta 函数与特征值数据，计算复杂度 $K(\Gamma)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 $\mathbb{F}_{q^m}$ 中 $(q^\ell+1)$-次幂定义的 Cayley 图 $\Gamma_{q,m}(\ell)$ 的谱是什么？
• RQ2 在何种参数下 $\Gamma_{q,m}(\ell)$ 是 Ramanujan 图？能否在所有特征下构造此类图？
• RQ3 Waring 数 $g(q^\ell+1, q^m)$ 是多少？对于无穷多组 $q$、$\ell$、$m$，它是否恒为 1 或 2？
• RQ4 能否利用此构造方法构造出无限多组整数谱、等能量但非同谱的图？
• RQ5 图 $\Gamma_{q,m}(\ell)$ 及其补图的显式 Ihara zeta 函数与复杂度是什么？

主要发现

• 图 $\Gamma_{q,m}(\ell)$ 是整数谱、强正则且非二分图（除平凡情形外），其不同特征值个数为 2 或 3，具体取决于 $\ell = m/2$ 是否成立。
• 当 $\ell \neq m/2$ 时，谱为 $\{[k]^1, [\upsilon]^{m_\upsilon}, [\mu]^{m_\mu}\}$，其中 $k$、$\upsilon$、$\mu$ 为整数特征值，$m_\upsilon$、$m_\mu$ 为对应重数。
• Waring 数 $g(q^\ell+1, q^m)$ 在 $m$ 为奇数时为 1，在 $m$ 为偶数时为 2，从而解决了无穷多组 $q$、$\ell$、$m$ 下的开放问题。
• 本文在所有特征下构造了无限多组整数谱 Ramanujan 图，包括非二分图。
• 推导出显式的 Ihara zeta 函数，其中 $\zeta_\Gamma(t)^{-1}$ 表示为特征值的乘积，使用公式 $Q(s,t) = 1 - st + (k-1)t^2$。
• 复杂度 $K(\Gamma)$ 计算为 $\frac{1}{q^m}(k - \upsilon)^{m_\upsilon}(k - \mu)^{m_\mu}$，并通过 zeta 函数极限验证。