[论文解读] The spectrum of magnetic Schrödinger operators and $k$-form Laplacians on conformally cusp manifolds

Sylvain Golénia, Sergiu Moroianu|ArXiv.org|Jul 21, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文研究了在共形截口流形（conformally cusp manifolds）上磁 Schrödinger 算子与 k-形式拉普拉斯算子的谱性质——此类流形为非紧致黎曼流形，其端部渐近等价于共形柱状度量。研究结果表明，k-形式拉普拉斯算子的连续谱当且仅当边界处的第 k 与 (k−1) 阶 de Rham 上同调群均消失时为零；并证明，若磁场所对应的相对上同调类非整数，则其 resolvent 为紧算子，从而即使在紧支集扰动下，谱仍为纯点谱。

ABSTRACT

We consider open manifolds which are interiors of a compact manifold with boundary, and Riemannian metrics asymptotic to a conformally cylindrical metric near the boundary. We show that the essential spectrum of the Laplace operator on functions vanishes under the presence of a magnetic field which does not define an integral relative cohomology class. It follows that the essential spectrum is not stable by perturbation even by a compactly supported magnetic field. We also treat magnetic operators perturbed with electric fields. In the same context we describe the essential spectrum of the $k$-form Laplacian. This is shown to vanish precisely when the $k$ and $k-1$ de Rham cohomology groups of the boundary vanish. In all the cases when we have pure-point spectrum we give Weyl-type asymptotics for the eigenvalue-counting function. In the other cases we describe the essential spectrum.

研究动机与目标

• 确定 k-形式拉普拉斯算子在共形截口流形上具有纯点谱的条件。
• 分析紧支集磁扰动下连续谱的稳定性。
• 以磁场所对应的相对上同调类表征磁 Schrödinger 算子的连续谱。
• 当谱为纯点谱时，建立特征值计数函数的 Weyl 型渐近公式。
• 证明 k-形式拉普拉斯算子的连续谱恰好在 h^k(M) 与 h^{k-1}(M) 均消失时为零。

提出的方法

• 分析在边界附近渐近于共形柱状度量的黎曼度量，使用模型度量 g_p = y^{-2p}(dy^2 + h)（当 y → ∞ 时）。
• 应用截口伪微分算子理论研究 k-形式拉普拉斯算子的谱性质。
• 对磁拉普拉斯算子 Δ_A = d_A^*d_A 使用 Friedrichs 延拓实现自伴算子。
• 利用规范不变性将谱分析约化为 H^2(X,M) 中的上同调不变量。
• 通过截断函数与 Rellich-Kondrakov 紧性原理建立分解原则，比较流形 X 与 X\K 上的连续谱。
• 构造 Weyl 序列并使用换位子估计，证明不存在奇异连续谱。

实验结果

研究问题

• RQ1 在边界流形 M 上满足何种上同调条件时，k-形式拉普拉斯算子具有纯点谱？
• RQ2 相对上同调类 [B] ∈ H^2(X,M) 如何影响磁 Schrödinger 算子的连续谱？
• RQ3 紧支集磁场所能否改变共形截口流形上拉普拉斯算子的连续谱？
• RQ4 当不满足上同调条件时，k-形式拉普拉斯算子的连续谱具有何种精确结构？
• RQ5 若连续谱中不包含 0，是否对应于 L^2-形式上的 Hodge 分解？

主要发现

• k-形式拉普拉斯算子 Δ_{k,p} 的连续谱当且仅当 h^k(M) 与 h^{k-1}(M) 均消失时为零。
• 当 0 < p < 1 时，Δ_{k,p} 的连续谱为 [0, ∞)；当 p = 1 时，其连续谱为 [c, ∞)，其中 c 依赖于维度与贝蒂数。
• 若磁场所定义的类在 H^2(X,M) 中非整数类，则磁拉普拉斯算子 Δ_A 的 resolvent 为紧算子，从而谱为纯点谱。
• 即使在完备流形上，连续谱在紧支集磁扰动下也不稳定。
• 在 k-形式设定下，对度量 (1) 已确立无奇异连续谱。
• 分解原理表明，对流形 X 上的磁拉普拉斯算子与 X\K 上的算子，有 σ_ess(Δ) = σ_ess(Δ')，其中 K 为带边界的紧致子流形。