[论文解读] The Spinor Representation of Surfaces in Space

Rob Kusner, Nick Schmitt|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 19

一句话总结

本文提出了一种将黎曼曲面共形浸入R³的旋量表示，通过使用亚纯旋量截面(s₁, s₂)来参数化极小曲面，推广了经典的Weierstrass表示。主要贡献在于建立了曲面上旋量结构与浸入的正规同伦类之间的直接联系，其中与旋量结构相关的Z₂-二次型的Arf不变量决定了浸入是否正规同伦于嵌入——通过该框架，实现了对W-临界球面和射影平面的完整分类。

ABSTRACT

The spinor representation is developed for conformal immersions of Riemann surfaces into space. We adapt the approach of Dennis Sullivan, which treats a spin structure on a Riemann surface M as a complex line bundle S whose square is the canonical line bundle K=T(M). Given a conformal immersion of M into \bbR^3, the unique spin strucure on S^2 pulls back via the Gauss map to a spin structure S on M, and gives rise to a pair of smooth sections (s_1,s_2) of S. Conversely, any pair of sections of S generates a (possibly periodic) conformal immersion of M under a suitable integrability condition, which for a minimal surface is simply that the spinor sections are meromorphic. A spin structure S also determines (and is determined by) the regular homotopy class of the immersion by way of a \bbZ_2-quadratic form q_S. We present an analytic expression for the Arf invariant of q_S, which decides whether or not the correponding immersion can be deformed to an embedding. The Arf invariant also turns out to be an obstruction, for example, to the existence of certain complete minimal immersions. The later parts of this paper use the spinor representation to investigate minimal surfaces with embedded planar ends. In general, we show for a spin structure S on a compact Riemann surface M with punctures at P that the space of all such (possibly periodic) minimal immersions of M\setminus P into \bbR^3 (upto homothety) is the the product of S^1 imes H^3 with the Grassmanian of 2-planes in a complex vector space \calK of meromorphic sections of S. An important tool -- a skew-symmetric form Ωdefined by residues of a certain meromorphic quadratic differential on M -- lets us compute how \calK varies as M and P are varied. Then we apply this to determine the moduli spaces of planar-ended minimal spheres and real projective planes, and also to construct a new family of minimal tori and a minimal Klein bottle with 4 ends. These surfaces compactify in S^3 to yield surfaces critical for the \Moebius invariant squared mean curvature functional W. On the other hand, Robert Bryant has shown all W-critical spheres and real projective planes arise this way. Thus we find at the same time the moduli spaces of W-critical spheres and real projective planes via the spinor representation.

研究动机与目标

• 开发黎曼曲面共形浸入R³的旋量表示，扩展Dennis Sullivan的方法。
• 建立曲面上旋量结构与共形浸入R³的正规同伦类之间的直接对应关系。
• 通过与旋量结构相关的Z₂-二次型的Arf不变量，表征极小浸入何时正规同伦于嵌入。
• 通过旋量表示对W-临界球面和实射影平面进行分类，表明它们源于嵌入的平面端和特定的旋量数据。
• 利用亚纯旋量截面的基于留数的双线性形式，构造新的极小曲面例子，包括具有嵌入平面端的环面和克莱因瓶。

提出的方法

• 通过黎曼曲面M上旋量丛S的两个亚纯截面(s₁, s₂)表示共形浸入，浸入由Re∫(s₁²−s₂², i(s₁²+s₂²), 2s₁s₂)给出。
• 为每个旋量结构S定义一个与之关联的Z₂-二次型q_S，用于分类浸入的正规同伦类。
• 通过涉及M上亚纯二次微分的基于留数的公式，解析计算q_S的Arf不变量。
• 利用亚纯二次微分的留数定义的反对称双线性形式Ω，分析当M和极点P变化时，亚纯旋量截面空间K的变化。
• 通过旋量表示分析具有嵌入平面端的极小曲面，将模空间表示为S¹×H³与K中2维子空间的Grassmannian的乘积。
• 推导克莱因瓶双覆盖上环面的周期条件，以保证浸入的闭合性，该条件归结为在实周期上对s₁²和s₁s₂的积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用旋量表示来参数化黎曼曲面共形浸入R³？
• RQ2 曲面上的旋量结构与浸入R³的正规同伦类之间的确切关系是什么？
• RQ3 与旋量结构相关的Z₂-二次型的Arf不变量如何决定极小浸入是否正规同伦于嵌入？
• RQ4 旋量表示能否对S³中的所有W-临界球面和实射影平面进行分类？
• RQ5 具有嵌入平面端的极小曲面的模空间是什么？它们如何随基础黎曼曲面和极点变化？

主要发现

• 与旋量结构S相关的Z₂-二次型q_S的Arf不变量决定了相应极小浸入是否正规同伦于嵌入。
• 对于具有嵌入平面端的极小曲面，浸入的模空间（模位似）微分同构于S¹×H³×Gr(2, K)，其中K是亚纯旋量截面的空间。
• 通过亚纯二次微分的留数定义的双线性形式Ω，其在K上消失，控制着K随黎曼曲面和极点变化的方式。
• 所有S³中的W-临界球面和实射影平面均源于具有嵌入平面端的极小浸入的旋量表示，且其模空间完全由该方法分类。
• 构造了一类新的具有四个嵌入平面端的极小环面和一个具有四个端点的极小克莱因瓶，后者在S³中紧化后得到W-临界曲面。
• 对于具有有限总曲率的克莱因瓶，其双覆盖是矩形环面C/Λ，其中Λ由2ω₁∈R和2ω₃∈iR生成，提升变换为I(u)=ū+ω₁，可接受的旋量结构由℘(u)−℘(ω₂)和℘(u)−℘(ω₃)确定。