[论文解读] The stack of higher internal categories and stacks of iterated spans

David Li-Bland|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文证明了两种构造——Lurie 在 ∞-topoi 中的高阶内部范畴，以及 Haugseng 的带局部系统迭代柯普斯——在 ∞-范畴的 ∞-topoi 上构成叠。通过利用统一的内部范畴 ∞-范畴证明这些赋值在小极限下保持连续性，表明两种构造均满足下降性质，从而产生高阶范畴与迭代柯普斯的 ∞-叠。

ABSTRACT

In this paper, we show that two constructions form stacks: Firstly, as one varies the $\infty$-topos, $\mathcal{X}$, Lurie's homotopy theory of higher categories internal to $\mathcal{X}$ varies in such a way as to form a stack over the $\infty$-category of all $\infty$-topoi. Secondly, we show that Haugseng's construction of the higher category of iterated spans in a given $\infty$-topos (equipped with local systems) can be used to define various stacks over that $\infty$-topos. As a prerequisite to these results, we discuss properties which limits of $\infty$-categories inherit from the $\infty$-categories comprising the diagram. For example, Riehl and Verity have shown that possessing (co)limits of a given shape is hereditary. Extending their result somewhat, we show that possessing Kan extensions of a given type is heriditary, and more generally that the adjointability of a functor is heriditary.

研究动机与目标

• 建立 Lurie 在 ∞-topoi 中的高阶内部范畴构造在 ∞-topoi 的 ∞-范畴上构成叠。
• 证明 Haugseng 的带局部系统的迭代柯普斯构造在任意 ∞-topos 上构成叠。
• 在 ∞-范畴的语境下，为这些构造在小极限下的连续性建立一个框架。
• 通过所有 ∞-topoi 上内部范畴的总 ∞-范畴 ∫css_k 统一研究高阶范畴与柯普斯。
• 证明将迭代柯普斯赋值到内部范畴的映射是连续的，从而支持对高阶范畴几何至关重要的下降性质。

提出的方法

• 通过展开（unstraightening）构造总 ∞-范畴 ∫css_k 作为函子 X ↦ css_k(X) 的松散并集（lax colimit），捕捉 ∞-topoi 与高阶内部范畴的对 (X, X•,…,•)。
• 证明 ∫css_k 中的极限继承自其组成部分 ∞-范畴的性质，如柯补延伸与伴随性，推广了 Riehl-Verity 关于 (co)极限的结果。
• 证明映射 (X, X•,…,•) ↦ Span_k(X, X•,…,•) 在总 ∞-范畴 ∫css_k 上是连续的（保持小极限）。
• 利用 Span_k 的连续性，推导出对任意连续函子 σ: X^{op} → ∫css_k，映射 U ↦ Span_k(X_{/U}, σ(U)) 在任意 ∞-topos X 上构成一个 ∞-叠。
• 应用下降性质，表明高阶内部范畴的叠与迭代柯普斯的叠均满足关于 étale 覆盖的层条件。
• 利用 ∞-topos 理论中的协张从截面与拉回，通过 ∞-叠性质将覆盖上的局部数据与整体构造联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ∞-topoi 中的高阶内部范畴构造是否满足下降性质，即在 ∞-topoi 的 ∞-范畴上构成叠？
• RQ2 将带局部系统的迭代柯普斯赋值到高阶内部范畴的映射在小极限下是否连续？
• RQ3 能否通过局部数据的连续赋值，将迭代柯普斯的构造变为 ∞-topos 上的 ∞-叠？
• RQ4 Kan 伸延与伴随性等性质在 ∞-范畴的极限下能多大程度地传递？
• RQ5 如何形式化内部高阶范畴与迭代柯普斯之间的相互作用，以支持下降与叠条件？

主要发现

• 映射 X ↦ css_k(X)，将 ∞-topos 映射到其完全 k 重 Segal 对象的 ∞-范畴，构成 ∞-topoi 的 ∞-范畴上的叠。
• 映射 (X, X•,…,•) ↦ Span_k(X, X•,…,•) 在总 ∞-范畴 ∫css_k 上是连续的，保持小极限。
• 对任意连续函子 σ: X^{op} → ∫css_k，映射 U ↦ Span_k(X_{/U}, σ(U)) 在 X 上定义了一个 (∞,k)-叠。
• 特别地，对任意固定的 X•,…,• ∈ css_k(X)，构造 X_{/U} ↦ Span_k(X_{/U}, U × X•,…,•) 在 X 上构成一个 (∞,k)-叠。
• 如在特征为零的域上的导出叠情形所示，柯普斯的复合运算连续地（代数地）依赖于所涉及的柯普斯。
• 该框架支持对高阶范畴与迭代柯普斯的全局、下降相容处理，为高阶范畴论与数学物理中的应用提供支持。