[论文解读] The steady states of coupled dynamical systems compose according to matrix arithmetic

David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Chaos control and synchronization参考文献 9被引用 13

一句话总结

本文提出了一种用于分析耦合动力系统稳态的组合框架，通过将系统表示为遵循矩阵算术（特别是矩阵乘法、Kronecker积和部分迹）的矩阵。其关键贡献是将开动力系统到稳态矩阵的函子映射，该映射保持组合性，从而在分析大规模互连系统时实现计算复杂度的指数级降低。

ABSTRACT

Open dynamical systems are mathematical models of machines that take input, change their internal state, and produce output. For example, one may model anything from neurons to robots in this way. Several open dynamical systems can be arranged in series, in parallel, and with feedback to form a new dynamical system---this is called compositionality---and the process can be repeated in a fractal-like manner to form more complex systems of systems. One issue is that as larger systems are created, their state space grows exponentially. In this paper a technique for calculating the steady states of an interconnected system of systems, in terms of the steady states of its component dynamical systems, is provided. These are organized into "steady state matrices" which generalize bifurcation diagrams. It is shown that the compositionality structure of dynamical systems fits with the familiar monoidal structure for the steady state matrices, where serial, parallel, and feedback composition of matrices correspond to multiplication, Kronecker product, and partial trace operations. The steady state matrices of dynamical systems respect this compositionality structure, exponentially reducing the complexity involved in studying the steady states of composite dynamical systems.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，无需显式构建完整状态空间，即可计算互连动力系统的稳态。
• 将分岔图推广为矩阵表示，以编码所有输入-输出组合的稳态。
• 建立从开动力系统到矩阵的组合映射，尊重串行、并行和反馈组合结构。
• 通过使用矩阵运算而非暴力枚举状态，降低大规模复合系统分析的计算复杂度。

提出的方法

• 将每个子系统的稳态表示为矩阵，其中条目列出每种输入-输出配置下的不动点。
• 使用矩阵乘法建模系统的串行组合，矩阵条目跟踪复合状态转移。
• 应用Kronecker积建模独立子系统的并行组合。
• 采用部分迹运算建模互联系统中的反馈和信号再循环。
• 将组合映射形式化为从接线图范畴到矩阵范畴的函子。
• 通过定理验证函子性：先组合系统再映射到矩阵，与先映射再通过矩阵运算组合，结果一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过代数运算，从组件的稳态高效计算出复合动力系统的稳态？
• RQ2 动力系统的串行、并行和反馈组合如何对应于标准的矩阵运算？
• RQ3 分岔图能否推广为保持组合性的矩阵形式？
• RQ4 是否存在一种从开动力系统到矩阵的组合映射，尊重接线图的张量结构？
• RQ5 该基于矩阵的方法在多大程度上降低了大规模动力系统分析的计算复杂度？

主要发现

• 复合系统的稳态矩阵通过其组件矩阵的串行乘积获得，结果与全系统的实际稳态一致。
• 系统的并行组合对应于其各自稳态矩阵的Kronecker积。
• 反馈组合由复合系统稳态矩阵的部分迹运算捕获。
• 从动力系统到稳态矩阵的映射是函子性的，确保了系统互连中组合性的保持。
• 该方法实现了复杂度的指数级降低：无需枚举所有可能的复合状态，而是通过矩阵算术计算，如六个串连系统示例所示。
• 复合系统 z 的最终稳态矩阵计算为 $\mathcal{S}\textnormal{tst}(w) \mathcal{S}\textnormal{tst}(x)^6 \mathcal{S}\textnormal{tst}(y)$ 的部分迹，得到每对输入-输出的显式不动点集合。