[论文解读] The Stiefel--Whitney theory of topological insulators

Ralph M. Kaufmann, Dan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Topological Materials and Phenomena参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过动量空间上Pfaffian线丛的Stiefel–Whitney类，建立了时间反演对称拓扑绝缘体中拓扑ℤ₂不变量的几何解释。通过将结构群约化至ℤ₂，该不变量被证明是主ℤ₂丛非定向性的障碍，且Kane–Mele不变量对应于第一类Stiefel–Whitney类。该工作通过非定向cobordism理论将弱和强拓扑绝缘体联系起来，并从该不变量构造出一个完全展开的拓扑量子场论（TQFT）。

ABSTRACT

We study the topological band theory of time reversal invariant topological insulators and interpret the topological $\mathbb{Z}_2$ invariant as an obstruction in terms of Stiefel--Whitney classes. The band structure of a topological insulator defines a Pfaffian line bundle over the momentum space, whose structure group can be reduced to $\mathbb{Z}_2$. So the topological $\mathbb{Z}_2$ invariant will be understood by the Stiefel--Whitney theory, which detects the orientability of a principal $\mathbb{Z}_2$-bundle. Moreover, the relation between weak and strong topological insulators will be understood based on cobordism theory. Finally, the topological $\mathbb{Z}_2$ invariant gives rise to a fully extended topological quantum field theory (TQFT).

研究动机与目标

• 使用特征类将拓扑绝缘体中的拓扑ℤ₂不变量解释为几何障碍。
• 将Kane–Mele不变量重新表述为动量空间上Pfaffian线丛的第一类Stiefel–Whitney类。
• 通过非定向cobordism理论理解弱和强拓扑绝缘体之间的区别。
• 证明ℤ₂不变量可生成一个完全展开的拓扑量子场论（TQFT）。

提出的方法

• 从拓扑绝缘体能带结构的Hilbert丛构造Pfaffian线丛，并将结构群约化至ℤ₂。
• 使用Stiefel–Whitney类理论表征Pfaffian线丛的定向性，将ℤ₂不变量识别为w₁(Pf)。
• 将非定向cobordism理论应用于动量空间X（视作ℤ₂-CW复形），通过cobordant边界关联弱和强绝缘体。
• 基于X的ℤ₂-CW分解定义一个bordism范畴，诱导一个到向量空间的对称张量函子。
• 证明该TQFT是完全展开的，且时间反演对称性的0维不动点完全决定了3D TQFT。
• 以Kane–Mele不变量作为ℤ₂不变量的定义，将其符号乘积解释为定向丛中的全局扭量。

实验结果

研究问题

• RQ1 时间反演对称拓扑绝缘体中的拓扑ℤ₂不变量如何被解释为特征类障碍？
• RQ2 Pfaffian线丛在编码ℤ₂不变量中起什么作用？其结构群约化至ℤ₂如何与定向性相关？
• RQ3 非定向cobordism理论如何解释弱和强拓扑绝缘体之间的关系？
• RQ4 ℤ₂不变量能否用于构造一个完全展开的拓扑量子场论（TQFT）？

主要发现

• 拓扑ℤ₂不变量等价于动量空间上Pfaffian线丛的第一类Stiefel–Whitney类w₁。
• 当且仅当Pfaffian线丛非定向时（即w₁ ≠ 0）不变量非零。
• 对于三维拓扑绝缘体，完全展开的TQFT完全由时间反演对称性的0维不动点决定。
• 弱与强拓扑绝缘体之间的关系由cobordism关系表征：当且仅当限制在两个边界环面子流形上的Pfaffian丛彼此cobordant时，不变量为平凡。
• cobordism结构诱导出高阶Stiefel–Whitney类，将不变量与动量空间作为bordism范畴的拓扑联系起来。
• Kane–Mele不变量ν = −1对应于定向丛中的非平凡扭量，表明Pfaffian线丛非定向；而ν = +1则表示其定向。