[论文解读] The stochastic integrable AKNS hierarchy

Alexis Arnaudon|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文通过基于拉格朗日约化和随机零曲率关系的几何方法，推导出一个随机可积 AKNS 层次结构，使系统在时间噪声下仍保持可积性。主要贡献是一个系统性框架，可导出具有孤立子解的随机 NLS、KdV、mKdV 和 Camassa-Holm 方程，通过随机反散射变换实现，包括针对 II 型 CH 方程的新型随机峰子动力学。

ABSTRACT

We derive a stochastic AKNS hierarchy using geometrical methods. The integrability is shown via a stochastic zero curvature relation associated with a stochastic isospectral problem. We expose some of the stochastic integrable partial differential equations which extend the stochastic KdV equation discovered by M. Wadati in 1983 for all the AKNS flows. We also show how to find stochastic solitons from the stochastic evolution of the scattering data of the stochastic IST. We finally expose some properties of these equations and also briefly study a stochastic Camassa-Holm equation which reduces to a stochastic Hamiltonian system of peakons.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，向可积 PDE 添加时间噪声，同时保持其完全可积性。
• 利用几何与等谱方法，将 Wadati 的随机 KdV 方程推广至完整的 AKNS 层次结构。
• 构建与随机零曲率关系相容的随机反散射变换（IST）。
• 推导并分析随机 Camassa-Holm 方程，特别是能生成随机峰子系统的方程。
• 探讨随机变形在可积系统中的物理与数学意义，尤其在孤立子动力学与守恒律方面的意义。

提出的方法

• 通过对称性进行拉格朗日约化推导确定性 AKNS 层次结构，随后利用 [28] 的流体动力学与力学系统框架施加随机变形。
• 将随机零曲率关系（ZCR）作为可积性条件，确保随机系统保持可积性。
• 应用随机反散射变换（IST）构造一孤立子解，特别针对随机 NLS 方程。
• 通过扩展 AKNS 框架，推导出 I 型、II 型和 III 型随机 Camassa-Holm 方程，其中 II 型产生随机峰子系统。
• 采用斯特拉托诺维奇微积分形式，噪声项与同一层次结构的流成比例，确保几何一致性。
• 将该方法应用于将随机 CH 方程约化为保持确定性情形结构的随机峰子哈密顿系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出 AKNS 层次结构的随机变形，使得在时间噪声下仍保持可积性？
• RQ2 随机反散射变换与确定性版本有何不同，它能生成哪些类型的解？
• RQ3 在 II 型随机 Camassa-Holm 方程背景下，随机峰子的动力学特性是什么？
• RQ4 该随机变形方法能否推广至 AKNS 之外的其他可积层次结构？
• RQ5 与同一层次结构的流成比例的随机项具有何种物理与数学意义？

主要发现

• 通过拉格朗日约化与随机变形推导出随机 AKNS 层次结构，利用随机零曲率关系保持可积性。
• 随机反散射变换成功生成了随机 NLS 方程的一孤立子解，扩展了 Wadati 的随机 KdV 结果。
• II 型随机 Camassa-Holm 方程产生一个随机哈密顿峰子系统，其动力学由 $ dq_i = u(q_i,t)(dt + \circ dW) $, $ dp_i = -p_i u(q_i,t)(dt + \circ dW) $ 描述。
• 该随机峰子系统保持了动量 $ P = p_1 + p_2 $ 与能量 $ H = \frac{1}{2}(p_1^2 + p_2^2) $ 等守恒量，防止峰子交叉。
• II 型随机 CH 方程的哈密顿形式上可表示为 $ h(p,q)dt = \frac{1}{2}\sum_{i,j} p_i p_j e^{-|q_i - q_j|/\alpha}(dt + \circ dW) $，其随机势能与确定性哈密顿量相同。
• 该方法具有一般性，表明在给定框架下，所导出的随机方程是 NLS、KdV 和 mKdV 方程唯一可能的可积随机版本。