[论文解读] The stochastic permanence of malaria, and the existence of a stationary distribution for a class of malaria models

Divine Wanduku|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2018

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文提出了一类用于疟疾动态的随机微分方程模型，通过独立的白噪声过程引入传播率和死亡率的随机波动。利用李雅普诺夫泛函技术和局部鞅表征方法，建立了随机持久性及唯一平稳分布存在的条件，表明更高的噪声强度——尤其是来自自然死亡率的噪声——会破坏系统稳定性并增加灭绝风险，而数值模拟则近似了疾病状态在地方性平衡附近的平稳分布。

ABSTRACT

This paper investigates the stochastic permanence of malaria and the existence of a stationary distribution for the stochastic process describing the disease dynamics over sufficiently longtime. The malaria system is highly random with fluctuations from the disease transmission and natural deathrates, which are expressed as independent white noise processes in a family of stochastic differential equation epidemic models. Other sources of variability in the malaria dynamics are the random incubation and naturally acquired immunity periods of malaria. Improved analytical techniques and local martingale characterizations are applied to describe the character of the sample paths of the solution process of the system in the neighborhood of an endemic equilibrium. Emphasis of this study is laid on examination of the impacts of (1) the sources of variability- disease transmission and natural death rates, and (2) the intensities of the white noise processes in the system on the stochastic permanence of malaria, and also on the existence of the stationary distribution for the solution process over sufficiently long time. Numerical simulation examples are presented to illuminate the persistence and stochastic permanence of malaria, and also to numerically approximate the stationary distribution of the states of the solution process.

研究动机与目标

• 分析在传播率和自然死亡率存在环境噪声时疟疾的随机持久性。
• 研究长期时间尺度下随机疟疾过程的平稳分布是否存在。
• 考察来自疾病传播和自然死亡率的噪声强度如何影响疾病持续性和分布。
• 对模型中易感者、潜伏者、感染者和移除者的疾病状态进行平稳分布的数值近似。
• 评估非线性发病率和随机延迟对长期疾病动态的影响。

提出的方法

• 构建了一类具有广义非线性发病率函数 G 的伊tô-杜布型随机微分方程，用于建模疟疾传播。
• 引入独立的白噪声过程，以表示疾病传播率和自然死亡率的随机波动。
• 应用李雅普诺夫泛函技术与局部鞅表征方法，分析样本路径在潜在地方性平衡附近的动态行为。
• 利用数值模拟追踪在不同噪声强度和参数组合下随机过程的轨迹。
• 采用集合模拟方法，对多个实现中疾病状态的平稳分布进行近似。
• 分析噪声源及其强度对长期系统稳定性与灭绝风险的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在传播率和死亡率存在随机波动的情况下，疟疾在何种条件下仍保持随机持久性？
• RQ2 在长时间范围内，随机疟疾模型是否存在唯一的平稳分布？
• RQ3 不同噪声强度——尤其是来自传播率与自然死亡率的噪声——如何影响疟疾的持续性与分布？
• RQ4 非线性发病率和随机延迟对疾病长期行为有何影响？
• RQ5 当无显式解时，是否可对疾病状态的平稳分布进行数值近似？

主要发现

• 白噪声过程的更高强度，尤其是来自自然死亡率的噪声，会使系统远离地方性平衡点，并增加种群灭绝的风险。
• 在给定参数集下，易感者群体的平稳分布近似对称，其均值（集合均值）位于区间 [6.5, 8.0] 内。
• 潜伏者、感染者和移除者类别的平稳分布也近似对称，其均值分别位于区间 [2.45, 2.85]、[2.8, 3.6] 和 [0.95, 1.90] 内。
• 对于给定的系统参数集，平稳分布是唯一的，尽管其统计特性（如均值、方差）随参数值变化而改变。
• 数值模拟表明，自然死亡率的噪声比传播率的噪声具有更强的破坏性影响。
• 该模型证实，在中等噪声水平下疟疾可保持随机持久，但高噪声强度会显著降低其持续可能性。