[论文解读] The strange duality conjecture for generic curves

Prakash Belkale|ArXiv.org|Feb 1, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文证明了在 genus $ g \geq 1 $ 的一般曲线上的奇异对偶猜想，确立了与半稳定向量丛 $ F \in U_X^*(k) $ 关联的 theta 截面 $ \Theta_F $ 张成空间 $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $。证明结合了共形块的分解、格拉斯曼流形上的 Gromov-Witten 不变量以及退化技术，构造了一个几何枚举问题，其解给出了所需的 theta 截面，从而确认了对一般曲线的对偶性。

ABSTRACT

For X a compact Riemann surface of positive genus, the strange duality conjecture predicts that the space of sections of certain theta bundle on moduli of bundles of rank r and level k is naturally dual to a similar space of sections of rank k and level r. We prove this conjecture for X generic in the moduli space of curves of a given genus.

研究动机与目标

• 在模空间 $ M_g $ 中建立一般曲线的奇异对偶猜想，该猜想将秩 $ r $、级别 $ k $ 的 theta 函数与秩 $ k $、级别 $ r $ 的 theta 函数联系起来。
• 证明对于 $ F \in U_X^*(k) $ 的截面 $ \Theta_F $ 张成 $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $，这等价于猜想为同构。
• 在高亏格中构造一个几何枚举问题，其结构与量子上同调及格拉斯曼流形上的施伯特演算相呼应。
• 利用共形块的分解和 Verlinde 公式来计算 $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ 的维数 $ M(r,k,g) $，并将其与 Gromov-Witten 不变量联系起来。

提出的方法

• 使用 Tsuchiya-Ueno-Yamada 的分解公式，将 $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ 的维数 $ M(r,k,g) $ 降低为在 $ \mathbb{P}^1 $ 上的共形块。
• 应用 Verlinde 公式来计算共形块的维数，将其与 $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ 的秩联系起来。
• 利用 Witten 在 $ \mathbb{P}^1 $ 上的共形块与格拉斯曼流形的小量子上同调之间的关系，将 $ M(r,k,g) $ 表示为扭曲 Gromov-Witten 不变量的和。
• 通过在 $ \operatorname{Gr}(r,n) \times \operatorname{Gr}(r,n) $ 上构造对角线的局部退化，引入一个高亏格中的新枚举问题，其结构基于方程 (\ddagger) 中的 Gromov-Witten 和。
• 证明在此枚举问题中，由横截相交产生的线性无关截面具有形式 $ \Theta_F $，从而张成 $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $。
• 使用形式变形理论和 Artin 逼近，将向量丛提升到一般曲线，保持平凡行列式和半稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于亏格 $ g \geq 1 $ 的一般曲线，奇异对偶同构是否成立，即对于一般 $ X \in M_g $，映射 $ H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r)^* \to H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ 是否为同构？
• RQ2 能否将 $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ 的维数 $ M(r,k,g) $ 表示为格拉斯曼流形上扭曲 Gromov-Witten 不变量的和？
• RQ3 是否存在一个高亏格中的几何枚举问题，其解能自然地生成 $ F \in U_X^*(k) $ 的 theta 截面 $ \Theta_F $？
• RQ4 格拉斯曼流形中施伯特簇及其对偶的结构，如何与高亏格中共形块的分解相关联？
• RQ5 是否能通过模仿 Gromov-Witten 理论中移位操作的退化技术来证明对偶性？

主要发现

• 奇异对偶猜想对一般曲线 $ X \in M_g $ 成立，即对于 $ F \in U_X^*(k) $ 的截面 $ \Theta_F $ 张成 $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $，从而确认了猜想中的同构。
• 空间 $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ 的维数 $ M(r,k,g) $ 由一组扭曲 Gromov-Witten 不变量的和给出：$ M(r,k,g) = \sum' \langle \omega_{I^1}, \dots, \omega_{I^g}, \omega_{(I^1)'}^\prime, \dots, \omega_{(I^g)'}^\prime \rangle_{0,-k(g-1)} $。
• 高亏格中枚举问题的构造基于 $ \operatorname{Gr}(r,n) \times \operatorname{Gr}(r,n) $ 中对角线的局部退化，且求和限制在大小为 $ r $ 且包含 1 的子集 $ I^j \subset [r+k] $ 上。
• 截面 $ \Theta_F $ 的线性无关性源于该枚举问题中的横截相交，这些相交几何地实现了和式中的 Gromov-Witten 不变量。
• Gromov-Witten 理论中的移位操作（命题 A.3）被用来关联退化下的不变量，从而通过递归约化构造出完整的和。
• 证明依赖于 $ h^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) = h^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $，因此张成即意味着同构，而这一点通过几何构造截面 $ \Theta_F $ 实现。