[论文解读] The strong Legendre condition and the well-posedness of mixed Robin problems on manifolds with bounded geometry

Bernd Ammann, Nadine Große+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 39被引用 5

一句话总结

该论文建立了在具有有界几何结构的非紧致黎曼流形上，针对二阶微分算子的混合罗宾边值问题的适定性与正则性。在强勒让德条件、有界系数以及罗宾算子一致正定的条件下，证明了在索伯列夫空间 $H^s(M;E)$（$s \geq 0$）中解的存在性、唯一性及对数据的连续依赖性，将经典结果推广至具有有限宽度和边界分解的非紧致情形。

ABSTRACT

Let $M$ be a smooth manifold with boundary $\partial M$ and bounded geometry, $\partial_D M \subset \partial M$ be an open and closed subset, $P$ be a second order differential operator on $M$, and $b$ be a first order differential operator on $\partial M \smallsetminus \partial_D M$. We prove the regularity and well-posedness of the mixed Robin boundary value problem $$Pu = f \mbox{ in } M,\ u = 0 \mbox{ on } \partial_D M,\ \partial^P_νu + bu = 0 \mbox{ on } \partial M \setminus \partial_D M$$ under some natural assumptions. Our operators act on sections of a vector bundle $E o M$ with bounded geometry. Our well-posedness result is in the Sobolev spaces $H^s(M; E)$, $s \geq 0$. The main novelty of our results is that they are formulated on a non-compact manifold. We include also some extensions of our main result in different directions. First, the finite width assumption is required for the Poincaré inequality on manifolds with bounded geometry, a result for which we give a new, more general proof. Second, we consider also the case when we have a decomposition of the vector bundle $E$ (instead of a decomposition of the boundary). Third, we also consider operators with non-smooth coefficients, but, in this case, we need to limit the range of $s$. Finally, we also consider the case of uniformly strongly elliptic operators. In this case, we introduce a \emph{uniform Agmon condition} and show that it is equivalent to the Gårding inequality. This extends an important result of Agmon (1958).

研究动机与目标

• 将边界值问题的适定性理论推广至具有有界几何结构的非紧致流形。
• 针对满足强勒让德条件的二阶算子，建立混合狄利克雷-罗宾问题的正则性与强制性。
• 将庞加莱不等式与加丁不等式推广至具有有限宽度的非紧致流形。
• 通过边界上的统一阿格蒙条件表征强制性，确保在索伯列夫空间中的可解性。

提出的方法

• 通过流形 $M$ 上向量丛 $E$ 上的二阶微分算子 $P$ 和一阶边界算子 $b$ 构造混合罗宾问题。
• 施加边界条件：在 $\partial_D M$ 上为狄利克雷条件，在 $\partial_R M$ 上为罗宾条件，在 $\partial_N M$ 上为诺伊曼条件，且满足 $\partial_D M \sqcup \partial_R M \sqcup \partial_N M = \partial M$。
• 应用强勒让德条件以确保一致椭圆性，并利用有界几何结构控制系数与曲率。
• 在有限宽度假设下推导出统一的庞加莱不等式，这对强制性至关重要。
• 通过统一阿格蒙条件建立强制性，将其与加丁不等式及问题的适定性联系起来。
• 使用单位分解及在边界点处冻结系数的局部模型约化方法，证明全局强制性与正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何与分析条件下，混合罗宾问题在具有有界几何结构的非紧致流形上是适定的？
• RQ2 强勒让德条件如何在非紧致情形下确保一致椭圆性与强制性？
• RQ3 有限宽度条件在建立庞加莱不等式与索伯列夫空间中可解性方面起什么作用？
• RQ4 在非紧致流形上，统一阿格蒙条件与加丁不等式对强制算子而言为何等价？
• RQ5 该理论能否推广至具有非光滑系数或分解向量丛的算子？

主要发现

• 在所有 $s \geq 0$ 的索伯列夫空间 $H^s(M;E)$ 中，混合罗宾问题适定，解唯一且对数据连续依赖。
• 在具有有界几何结构与有限宽度的流形上，庞加莱不等式一致成立，其证明基于一种新通用方法。
• 算子 $\tilde{P}$ 的强制性等价于边界上的统一阿格蒙条件，从而确保可解性。
• 强勒让德条件确保一致椭圆性，并允许推广至系统与非光滑系数。
• 在形式自伴性与 $W^{1,\infty}$ 系数条件下，$P$ 的自伴性得以确立，其定义域由边界条件确定。
• 统一阿格蒙条件与加丁不等式之间的等价性已得证，将经典结果推广至非紧致情形。