[论文解读] The structure and labelled enumeration of K_{3,3}-subdivision-free projective-planar graphs

Andrei Gagarin, Gilbert Labelle+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2004

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文建立了可嵌入射影平面的2-连通、非平面、不含$K_{3,3}$子式分解的图的唯一分解定理，表明此类图由$K_5$的边被2-连通平面图的二端口网络替换而成。主要贡献是基于生成函数的此类图的标记图枚举方法，以及基于串联-并联网络的边数上界估计与同胚不可约变体的枚举。

ABSTRACT

We consider the class F of 2-connected non-planar K_{3,3}-subdivision-free graphs that are embeddable in the projective plane. We show that these graphs admit a unique decomposition as a graph K_5 (the core) where the edges are replaced by two-pole networks constructed from 2-connected planar graphs. A method to enumerate these graphs in the labelled case is described. Moreover, we enumerate the homeomorphically irreducible graphs in F and homeomorphically irreducible 2-connected planar graphs. Particular use is made of two-pole directed series-parallel networks. We also show that the number m of edges of graphs in F with n vertices satisfies the bound m <=3n-6, for n >= 6.

研究动机与目标

• 表征可嵌入射影平面的2-连通、非平面、不含$K_{3,3}$子式分解图的结构。
• 利用网络替换与生成函数，发展此类图的标记枚举方法。
• 推导此类图中边数的上界，类比于平面图。
• 利用串联-并联网络枚举此类图中同胚不可约图。
• 将该框架扩展至连通图，并探讨渐近行为与无标记枚举。

提出的方法

• 结构定理表明，此类图的类$\mathcal{F}$同构于$K_5$的边被2-连通平面图的二端口网络替换，表示为$\mathcal{F} = K_5 \uparrow \mathcal{N}_P$。
• 使用混合指数生成函数$\mathcal{G}(x,y) = \sum_{n,m} g_{n,m} y^m \frac{x^n}{n!}$进行标记枚举，其中$g_{n,m}$表示具有$n$个顶点和$m$条边的图的数量。
• 通过函数方程$(\mathcal{G} \uparrow \mathcal{N})(x,y) = \mathcal{G}(x, \mathcal{N}(x,y))$形式化边替换操作，实现生成系列的递归计算。
• 串联-并联网络作为构建模块，采用范畴论方法建模网络组合与端口添加，使用如$\mathrm{Leg}(x,y) = 2yx + y^2x^2$等算子。
• 提出一种新的迭代方案以求解形如$B(x,y) = H(x, R(x,y))$的函数方程，实现同胚不可约图的生成系列计算。
• 通过$\mathcal{N}_\ell = (1 + \mathrm{Leg}) \left( \sum_{k \geq 0} (y\mathrm{Leg})^k \right) \mathcal{N}_{H_P}$定义网络类$\mathcal{N}_\ell$，允许网络中端口度数为2及以上。

实验结果

研究问题

• RQ1 2-连通、非平面、不含$K_{3,3}$子式分解的射影平面图具有何种唯一结构分解？
• RQ2 如何利用生成函数对这类图进行标记枚举？
• RQ3 此类图的最大边数是多少？与平面图相比如何？
• RQ4 如何枚举此类图中的同胚不可约图？
• RQ5 该框架能否扩展至连通图及无标记枚举？

主要发现

• 2-连通、非平面、不含$K_{3,3}$的射影平面图类$\mathcal{F}$可唯一分解为$K_5$的边被2-连通平面图的二端口网络替换，即$\mathcal{F} = K_5 \uparrow \mathcal{N}_P$。
• 类$\mathcal{F}$中图的边数$m$满足$ m \leq 3n - 6 $（当$n \geq 6$时），与平面图的边数上界一致。
• 类$\mathcal{F}$中同胚不可约图的生成系列记为$H_{\mathcal{F}}(x,y)$，其表达式为$H_{\mathcal{F}}(x,y) = \frac{x^5 (\mathcal{N}_\ell(x,y) + y)^{10}}{5!}$，其中$\mathcal{N}_\ell(x,y)$由$\mathcal{N}_{H_P}(x,y)$与端口算子导出。
• 具有至少4度端口的网络类$\mathcal{N}_\ell$的生成系列为$\mathcal{N}_\ell(x,y) = \frac{1 + \mathrm{Leg}(x,y)}{1 - y\,\mathrm{Leg}(x,y)} \mathcal{N}_{H_P}(x,y)$，其中$\mathrm{Leg}(x,y) = 2yx + y^2x^2$。
• 给出了$ n = 5 $至$ 20 $时，具有$n$个顶点的标记连通非平面$K_{3,3}$-自由射影平面图的数量，例如$n=5,6,7,8$时分别为1、150、16800、1809360。
• 渐近分析表明，标记的非平面$K_{3,3}$-自由射影平面图与它们的平面对应物具有相同的增长常数，表明具有相似的渐近行为。