[论文解读] The $SU(\infty)$ twisted gradient flow running coupling

Margarita Garcı́a Pérez, Antonio González-Arroyo+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于扭曲的江口-竹内（Twisted Eguchi-Kawai, TEK）模型与梯度流方法的非微扰方法，用于在 $SU(\infty)$ 格点规范场论中确定运行的 't Hooft 耦合常数。通过利用体积无关性并引入有效尺寸参数 $\tilde{l} = l\sqrt{N}$，作者在不同 $N$ 下执行了步长缩放分析，以在固定 $\tilde{l}$ 条件下模拟连续极限，成功再现了两圈微扰运行行为，并证实了该耦合常数与 $N=\infty$ 极限的一致性。

ABSTRACT

We measure the running of the $SU(\infty)$ 't Hooft coupling by performing a step scaling analysis of the Twisted Eguchi-Kawai (TEK) model, the SU($N$) gauge theory on a single site lattice with twisted boundary conditions. The computation relies on the conjecture that finite volume effects for SU(N) gauge theories defined on a 4-dimensional twisted torus are controlled by an effective size parameter $ ilde l = l \sqrt{N}$, with $l$ the torus period. We set the scale for the running coupling in terms of $ ilde l$ and use the gradient flow to define a renormalized 't Hooft coupling $λ( ilde l)$. In the TEK model, this idea allows the determination of the running of the coupling through a step scaling procedure that uses the rank of the group as a size parameter. The continuum renormalized coupling constant is extracted in the zero lattice spacing limit, which in the TEK model corresponds to the large $N$ limit taken at fixed value of $λ( ilde l)$. The coupling constant is thus expected to coincide with that of the ordinary pure gauge theory at $N =\infty$. The idea is shown to work and permits us to follow the evolution of the coupling over a wide range of scales. At weak coupling we find a remarkable agreement with the perturbative two-loop formula for the running coupling.

研究动机与目标

• 通过扭曲的江口-竹内（Twisted Eguchi-Kawai, TEK）模型确定 $SU(\infty)$ 规范场论中非微扰运行的 't Hooft 耦合常数。
• 检验在扭曲环面上的 $SU(N)$ 规范场论中体积无关性的有效性，其中有限尺寸效应由有效尺寸 $\tilde{l} = l\sqrt{N}$ 控制。
• 通过规范群的秩 $N$ 作为尺寸参数实施步长缩放程序，以探测不同能量尺度下的耦合常数。
• 在固定 $\tilde{l}$ 条件下，通过取 $N \to \infty$ 极限提取连续极限下的重整化耦合常数，确保其与 $N=\infty$ 纯规范场论的一致性。

提出的方法

• 使用扭曲的江口-竹内（Twisted Eguchi-Kawai, TEK）模型，即 $SU(N)$ 格点规范场论的单格点形式，以在大 $N$ 极限下模拟 $SU(\infty)$。
• 通过杨-米尔斯梯度流定义重整化 't Hooft 耦合常数 $\lambda(\tilde{l})$，其中尺度由有效尺寸 $\tilde{l} = l\sqrt{N}$ 决定。
• 通过将 $N \to s^2N$ 的方式增加 $\tilde{l}$，同时保持 $\lambda(\tilde{l})$ 不变，实施非微扰的步长缩放程序，以模拟格点间距的减小。
• 使用平面元与对称定义的梯度流耦合进行交叉验证，以提高结果的准确性。
• 对格点耦合定义应用树幅修正，以减少离散化效应，详见附录 A。
• 通过在固定 $\tilde{l}$ 条件下取 $N \to \infty$ 极限，实现连续极限，对应于 $SU(\infty)$ 理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非微扰格点模拟中，$SU(\infty)$ 的 't Hooft 耦合常数是否表现出预期的两圈微扰运行行为？
• RQ2 有效尺寸参数 $\tilde{l} = l\sqrt{N}$ 是否能成功控制在扭曲环面上的 $SU(N)$ 规范场论中的有限尺寸效应？
• RQ3 当使用 $N$ 作为尺寸参数而非物理格点间距时，TEK 模型中的步长缩放程序是否有效？
• RQ4 在固定 $\tilde{l}$ 条件下，TEK 模型的连续极限是否产生与 $N=\infty$ 纯规范场论一致的耦合常数？

主要发现

• 在 $SU(\infty)$ 极限下，非微扰运行耦合常数 $\lambda(\tilde{l})$ 在弱耦合区域与两圈微扰公式高度一致。
• 通过 $N \to s^2N$ 实现的步长缩放程序成功再现了耦合常数在多尺度下的预期演化行为。
• 在不同 $N$ 和 $b$ 参数下测得的耦合常数在平面元与对称定义之间保持一致，验证了该方法的稳健性。
• 在大 $\tilde{l}$ 区域，耦合常数趋于稳定的小值，$\lambda(\tilde{l}) \approx 1.5$ 在 $\tilde{l} \approx 1.5$ 时成立，与预期的红外行为一致。
• 结果证实，通过在固定 $\tilde{l}$ 条件下取大 $N$ 极限所获得的 $SU(\infty)$ 理论与连续纯规范场论一致，支持了该设定下体积无关性的有效性。
• 表 3–5 中的数值数据表明，随着 $\tilde{l}$ 增大，耦合常数平滑减小，证实了 $SU(\infty)$ 理论的渐近自由特性。