[论文解读] The supersingular locus of the Shimura variety for GU(1,n-1) over a ramified prime

Michael Rapoport, Ulrich Terstiege+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文对 GU(1,n−1) 的志村簇在分歧素数处的奇异点集提供了具体的几何描述，证明其不可约分支由 Bruhat-Tits 建筑的商空间参数化，且该点集被分层为辛群的 Deligne-Lusztig 代数簇。关键结果将该分层的关联复形识别为在离散群作用下对 Bruhat-Tits 树的商空间。

ABSTRACT

We analyze the geometry of the supersingular locus of the reduction modulo p of a Shimura variety associated to a unitary similitude group GU(1,n-1) over Q, in the case that p is ramified. We define a stratification of this locus and show that its incidence complex is closely related to a certain Bruhat-Tits simplicial complex. Each stratum is isomorphic to a Deligne-Lusztig variety associated to some symplectic group over F_p and some Coxeter element. The closure of each stratum is a normal projective variety with at most isolated singularities. The results are analogous to those of Vollaard/Wedhorn in the case when p is inert.

研究动机与目标

• 描述 GU(1,n−1) 志村簇在分歧素数模约化下的奇异点集结构。
• 将此前在无分歧素数情况下关于基本点集的结果推广至分歧情形。
• 通过与辛群相关的 Deligne-Lusztig 代数簇对奇异点集进行分层。
• 将分层的关联复形与在离散群作用下对 Bruhat-Tits 建筑的商空间相联系。
• 通过群论与几何方法，确定奇异点集的不可约与连通分支集合。

提出的方法

• 作者使用与 GU(1,n−1) 相关的 RZ 空间局部模型，重点关注约化后的特殊纤维 $\bar{\mathcal{N}}^{0}_{\rm{red}}$。
• 他们在 $\mathbb{Q}_p$ 的一个分歧二次扩张 $E$ 上的厄米特空间中定义顶点格，其类型 $t$ 衡量商 $\Lambda / \Lambda^\sharp$ 的大小。
• 通过群 $J = \mathrm{SU}(C)$ 的 Bruhat-Tits 建筑，构建 $\bar{\mathcal{N}}^{0}_{\rm{red}}$ 的分层，其中分层由最大类型顶点格索引。
• 全局奇异点集 $\mathcal{M}^{ss}_{K^p}$ 被实现为商空间 $I^V(\mathbb{Q}) \backslash (\bar{\mathcal{N}}^{0}_{\rm{red}} \times G^V(\mathbb{A}_f^p)^o / K^p)$，其中 $I^V(\mathbb{Q})$ 是保持结构的拟同构群。
• 证明该分层同构于在 $\mathbb{F}_p$ 上的辛群 $\mathrm{Sp}_{2t}$ 的 Deligne-Lusztig 代数簇的并集，其中 $t$ 从 0 到 $t_{\rm{max}}$。
• 分层的关联复形被识别为 $\coprod_{j=1}^m \Gamma_j \backslash \mathcal{T}$，其中 $\mathcal{T}$ 是 Bruhat-Tits 树，$\Gamma_j$ 是离散共(compact)子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 GU(1,n−1) 志村簇在分歧素数处的奇异点集如何结构化？
• RQ2 顶点格及其类型在参数化奇异点集的分层中起什么作用？
• RQ3 为何辛群的 Deligne-Lusztig 代数簇会出现在奇异点集的分层中？
• RQ4 该分层的关联复形是什么？它与 Bruhat-Tits 建筑有何关系？
• RQ5 奇异点集的不可约与连通分支如何被参数化？

主要发现

• 奇异点集 $\mathcal{M}^{ss}_{K^p}$ 的纯维数为 $t_{\rm{max}}/2$，其中 $t_{\rm{max}}$ 是顶点格的最大类型。
• 奇异点集被分层为在 $\mathbb{F}_p$ 上的辛群 $\mathrm{Sp}_{2t}$ 的 Deligne-Lusztig 代数簇，$t$ 从 0 到 $t_{\rm{max}}$。
• 分层的关联复形同构于 $\coprod_{j=1}^m \Gamma_j \backslash \mathcal{T}$，其中 $\mathcal{T}$ 是 $J = \mathrm{SU}(C)$ 的 Bruhat-Tits 树。
• 存在一个自然的双射，将 $\mathcal{M}^{ss}_{K^p}$ 的不可约分支与集合 $I^V(\mathbb{Q}) \setminus (J(\mathbb{Q}_p)^o / K_{J,p} \times G^V(\mathbb{A}_f^p)^o / K^p)$ 对应起来。
• 存在一个自然的双射，将 $\mathcal{M}^{ss}_{K^p}$ 的连通分支与集合 $I^V(\mathbb{Q}) \setminus G^V(\mathbb{A}_f^p)^o / K^p$ 对应起来。
• 映射 $\Psi: \coprod_{j=1}^m \bar{\mathcal{N}}^{0}_{\rm{red}} \to \mathcal{M}^{ss}_{K^p}$ 是局部同构，并在拟紧子集上是有限的，从而确保该分层是良态的。