[论文解读] The Symmetric Group Defies Strong Fourier Sampling: Part II

Cristopher Moore, Alexander Russell|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 32被引用 27

一句话总结

该论文证明，即使允许使用纠缠测量，对单寄存器或双寄存器共轭态进行多项式数量的实验，也无法高效求解对称群 $S_{2n}$ 上的隐藏子群问题（HSP），而该问题在解决图同构问题中具有核心地位。关键结果表明，测量结果几乎与隐藏子群的共轭无关，因此标准量子傅里叶采样方法对这一问题完全无效。

ABSTRACT

Part I of this paper showed that the hidden subgroup problem over the symmetric group--including the special case relevant to Graph Isomorphism--cannot be efficiently solved by strong Fourier sampling, even if one may perform an arbitrary POVM on the coset state. In this paper, we extend these results to entangled measurements. Specifically, we show that the hidden subgroup problem on the symmetric group cannot be solved by any POVM applied to pairs of coset states. In particular, these hidden subgroups cannot be determined by any polynomial number of one- or two-register experiments on coset states.

研究动机与目标

• 填补已知高效HSP解法与对称群HSP不可解性之间的差距。
• 探究对多个共轭态进行纠缠测量是否能克服强傅里叶采样方法的局限性。
• 证明即使在双寄存器纠缠测量下，$S_{2n}$ 中的隐藏子群仍无法通过多项式数量的实验被检测到。
• 确立标准量子傅里叶变换方法在对称群上失效，即使在一般测量模型下亦然。
• 提供证据表明，求解$S_{2n}$上的HSP可能需要$\Omega(n\log n)$个共轭态，暗示存在根本性的复杂性障碍。

提出的方法

• 分析群$G = S_{2n}$和由无不动点对合生成的子群$H$的共轭态$\rho_H = \frac{1}{|G|}\sum_{c\in G}|cH\rangle\langle cH|$。
• 研究在任意纠缠POVM下，$\rho_{H^g} \otimes \rho_{H^g}$上的测量结果分布。
• 利用对称群的表示理论，重点关注不可约表示及其张量积中的分解。
• 应用浓度不等式和概率分析，表明测量结果的分布几乎是均匀的，且与共轭$g$无关。
• 通过$\ell_1$-距离误差界比较实际测量分布$P_m$与均匀分布$U$，证明$\|P_m - U\|_1 = o(n^{-c})$以高概率成立。
• 利用向量$\mathbf{b} \otimes \mathbf{b}$投影到低维表示的事实，限制了共轭的可区分性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对对称群$S_{2n}$的两个共轭态进行纠缠测量，能否区分隐藏子群$H$的不同共轭？
• RQ2 是否存在基于$\text{poly}(n)$次实验的双寄存器共轭态测量的多项式时间量子算法，可求解$S_{2n}$上的HSP？
• RQ3 $\rho_{H^g} \otimes \rho_{H^g}$上的测量结果分布如何依赖于共轭$g$？
• RQ4 当$H$是由无不动点对合生成的非正规子群时，标准量子傅里叶变换能否在共轭态上检测到$S_{2n}$中的隐藏子群$H$？
• RQ5 任何测量方法求解$S_{2n}$上的HSP所需的最少共轭态数量是多少？该数量是否按$\Omega(n\log n)$规模增长？

主要发现

• 双寄存器共轭态$\rho_{H^g} \otimes \rho_{H^g}$上的测量结果分布几乎与共轭$g$无关，以高概率满足$\|P_m - U\|_1 < 8e^{-(\alpha/6)\sqrt{n}/\ln n}$。
• 对单寄存器或双寄存器共轭态进行多项式数量的实验，无法以非可忽略的概率确定$S_{2n}$中的隐藏子群$H$。
• 即使在给定特定不可约表示的条件下，测量结果的概率分布也几乎是均匀的。
• 分析表明，观察到基向量属于‘坏’或‘低概率’集合的概率呈指数级小，意味着无法实现有效可区分性。
• 结果不仅适用于强傅里叶采样，还扩展到任何双寄存器的纠缠测量策略，从而填补了对称群HSP理解中的一个关键空白。
• 本文推测，任何测量方法求解$S_{2n}$上的HSP至少需要$\Omega(n\log n)$个共轭态，暗示存在根本性的复杂性障碍。