[论文解读] The symplectic 2-form and Poisson bracket of null canonical gravity

Michael Reisenberger|ArXiv.org|Mar 27, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用 6

一句话总结

该论文在真空广义相对论中由两个相交的零曲面构成的初始数据超曲面上构造了泊松括号，采用佩尔斯公式定义可观测量，并通过求解辛2-形式的广义逆，得到了所有自由数据分量的显式括号。关键结果是所有初始数据变量之间括号的闭式表达，尽管该括号不满足雅可比恒等式，表明其为非标准泊松结构，尽管在可观测量上仍正确重现了佩尔斯括号。

ABSTRACT

It is well known that free (unconstrained) initial data for the gravitational field in general relativity can be identified on an initial hypersurface consisting of two intersecting null hypersurfaces. Here the phase space of vacuum general relativity associated with such an initial data hypersurface is defined; a Poisson bracket is defined, via Peierls' prescription, on sufficiently regular functions on this phase space, called ``observables''; and a bracket on initial data is defined so that it reproduces the Peierls bracket between observables when these are expressed in terms of the initial data. The brackets between all elements of a free initial data set are calculated explicitly. The bracket on initial data presented here has all the characteristics of a Poisson bracket except that it does not satisfy the Jacobi relations (even though the brackets between the observables do). The initial data set used is closely related to that of Sachs. However, one significant difference is that it includes a ``new'' pair of degrees of freedom on the intersection of the two null hypersurfaces which are present but quite hidden in Sachs' formalism. As a step in the calculation an explicit expression for the symplectic 2-form in terms of these free initial data is obtained.

研究动机与目标

• 在由两个相交零曲面组成的分段零超曲面上，基于真空广义相对论的初始数据，定义相空间上的泊松括号。
• 在初始数据集中构造一个括号，使得当可观测量用数据表示时，其括号与佩尔斯括号一致。
• 识别并包含零超曲面交线上的新自由度对，这些在萨克斯原始形式中缺失。
• 推导出辛2-形式关于自由初始数据的显式表达式，从而实现括号的构造。
• 研究是否能在初始数据上找到一个满足雅可比恒等式的真正泊松括号，同时仍能重现可观测量上的佩尔斯括号。

提出的方法

• 论文通过佩尔斯公式在一组微分同胚不变函数（可观测量）上定义泊松括号，该方法独立于场或时间规范的选择。
• 通过构造辛2-形式的广义逆，在初始数据集上定义括号，使得可观测量之间的括号与佩尔斯括号一致。
• 显式推导出辛2-形式关于自由初始数据（包括共形2-度量和零交线上新自由度）的表达式。
• 该方法涉及使用推迟和超前格林函数求解线性化爱因斯坦方程，并利用横向规范条件简化微扰。
• 由于截断零超曲面以避免焦散，边界项需谨慎处理，导致使用广义逆而非辛形式的真正逆。
• 通过将度量的变分用零超曲面上的数据表示，利用包含格林函数和边界积分的积分表达式推导出括号。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在真空广义相对论中由两个相交零曲面构成的初始数据超曲面上构造出闭式泊松括号？
• RQ2 当可观测量用初始数据表示时，初始数据上的括号是否能重现佩尔斯括号？
• RQ3 零超曲面交线上新自由度对的作用是什么？它们如何影响辛结构？
• RQ4 为何所构造的括号不满足雅可比恒等式？这是根本性障碍还是方法本身的后果？
• RQ5 能否找到一个在初始数据上满足雅可比恒等式的真正泊松括号，同时仍能重现可观测量上的佩尔斯括号？

主要发现

• 该论文推导出真空广义相对论在分段零超曲面上，完整自由初始数据集中所有元素之间泊松括号的显式闭式表达。
• 在不同点处共形2-度量之间的括号与加尔比尼和雷斯特鲁西亚的微扰结果一致，当其级数求和后，验证了该方法的有效性。
• 在两个零超曲面交线上识别出一对新自由度，这些自由度在萨克斯的形式中存在但被隐藏。
• 辛2-形式显式计算为自由初始数据（包括共形2-度量和交线上的新变量）的函数。
• 所构造的初始数据上的括号不满足雅可比恒等式，尽管其在可观测量上正确重现了佩尔斯括号。
• 雅可比恒等式不成立的原因在于截断零超曲面以避免焦散所引入的边界，这使得辛2-形式无法拥有真正逆，因而必须使用广义逆。