[论文解读] The Tamarkin--Tsygan calculus of an algebra a la Stasheff

Pedro Tamaroff|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文通过非交换多向量场与拟自由余纤维化替换上的微分形式，以内在的、可计算的方式描述了结合代数的Tamarkin–Tsygan微分学。证明了运算族 $\mathsf{Calc}$ 为非齐次Koszul型，从而可构造出 $\mathsf{Calc}_{\infty}$-模型，该模型通过显式公式计算了上积、Gerstenhaber括号与形式上的微分。该方法在单项式代数上的应用，实现了Hochschild上同调与同调的显式计算。

ABSTRACT

We show how to compute the Tamarkin-Tsygan calculus of an associative algebra by providing, for a given cofibrant replacement of it, a `small' $\mathsf{Calc}_\infty$-model of its calculus, which we make somewhat explicit at the level of $\mathsf{Calc}$-algebras. To do this, we prove that the operad $\mathsf{Calc}$ is inhomogeneous Koszul; to our best knowledge, this result is new. We illustrate our technique by carrying out some computations for two monomial associative algebra using the cofibrant replacement obtained by the author in 1804.01435.

研究动机与目标

• 通过余纤维化替换上的内在结构，提供结合代数的Tamarkin–Tsygan微分学的同伦不变且可计算的描述。
• 确立彩色运算族 $\mathsf{Calc}$ 为非齐次Koszul型，此为此前未知的结果。
• 在结合代数的拟自由模型所关联的非交换多向量场与微分形式复形上，构造 $\mathsf{Calc}_{\infty}$-代数结构。
• 通过此模型，实现Hochschild上同调与同调结构（包括Gerstenhaber括号与上同调作用）的显式计算。
• 将Stasheff的微分学内在描述推广至同伦完备框架，从而在同调上恢复经典微分学结构。

提出的方法

• 使用拟自由结合代数 $B = (TV, d)$ 作为结合代数 $A$ 的余纤维化替换，从而通过导出结构计算微分学。
• 定义非交换多向量场 $\mathcal{X}^*(B) = \operatorname{cone}(\operatorname{Ad}: B \to \operatorname{Der}(B))$ 与非交换微分形式 $\Theta_*(B) = \operatorname{cone}(C: V \otimes B \to B)$。
• 通过运算族的非齐次Koszul对偶理论，在 $(\mathcal{X}^*(B), \Theta_*(B))$ 上构造 $\mathsf{Calc}_{\infty}$-代数结构。
• 显式给出微分学运算公式：上积通过括号运算 $\{X,Y;d\}$ 给出，李括号为导子的换位子，形式上的微分为 $d\omega = \sum (-1)^\varepsilon v_{i+1}\cdots v_n v_1\cdots v_{i-1} dv_i$。
• 利用Kontsevich–Soibelman运算族 $\mathsf{KS}$ 与 $C_*(\mathsf{Cyl})$ 的形式性，将 $\mathsf{Calc}_{\infty}$-结构与Hochschild复形的同调联系起来。
• 通过 $B$ 上的导出结构，计算单项式代数的Hochschild上同调 $\mathrm{HH}^*(A)$ 与同调 $\mathrm{HH}_*(A)$，包括上同调群的显式基。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过Bar构造与余导子，以Stasheff式的方式内在描述结合代数的Tamarkin–Tsygan微分学？
• RQ2 控制微分学结构的彩色运算族 $\mathsf{Calc}$ 是否为非齐次Koszul型？
• RQ3 能否在代数的拟自由模型的非交换多向量场与微分形式复形上构造 $\mathsf{Calc}_{\infty}$-代数结构？
• RQ4 此类模型上微分学结构的上积、Gerstenhaber括号与微分的显式公式为何？
• RQ5 该框架如何用于显式计算具体单项式结合代数的Gerstenhaber代数结构与Hochschild上同调？

主要发现

• 证明了运算族 $\mathsf{Calc}$ 为非齐次Koszul型，此为新结果，从而可构造出底层对称序列同构于 $T(\delta) \circ \mathsf{PreCalc}^{\text{!}}$ 的余纤维化 $\mathsf{Calc}_{\infty}$-模型。
• 结合代数 $A$ 的Tamarkin–Tsygan微分学 $\mathsf{Calc}_A$ 可通过任意拟自由模型 $B \to A$ 的配对 $(\mathcal{X}^*(B), \Theta_*(B))$ 显式计算。
• 上积由括号运算 $\{X,Y;d\}$ 给出，李括号为导子的标准换位子，形式上的微分为 $d\omega = \sum (-1)^\varepsilon v_{i+1}\cdots v_n v_1\cdots v_{i-1} dv_i$。
• 对于单项式代数 $A = \Bbbk\langle x,y,\Lambda,\Gamma \mid x^2=0, yx=0, \Lambda x=0, \Gamma y=0 \rangle$，有 $\mathrm{HH}^2(A)$ 与 $\mathrm{HH}^3(A)$ 均为二维，其显式基由导子类 $\Phi_0, \Phi_1$ 与 $\Upsilon_0^0, \Upsilon_0^1$ 给出。
• Gerstenhaber括号作用被显式计算：例如，$[E_{s+2}, \Phi_t] = 3\Xi_{s+t+1} - 2\Theta_{s+t}$，且在 $\langle \Upsilon_s^t, \Phi_s \rangle$ 上有 $[F_0, -] = [G_0, -] = 0$，而在 $\langle \Omega_s^t \rangle$ 上有 $[F_0, -] = [G_0, -] = 2$。
• 循环同调 $\mathrm{HC}_*(A)$ 集中在度数零，且同构于 $\Bbbk[\bar{y}]$，而 $\mathrm{HH}_*(A)$ 在度数 $>1$ 时为平凡，且 $d: \mathrm{HH}_0(A) \to \mathrm{HH}_1(A)$ 为同构。