[论文解读] Formality of the homotopy calculus algebra of Hochschild (co)chains

Vasiliy Dolgushev, Dmitry Tamarkin+1 more|ArXiv.org|Jul 31, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用 31

一句话总结

本文证明了任意特征为零的域 $\mathbb{K}$ 上的光滑代数簇 $X$ 的结构层 $\mathcal{O}_X$ 的归一化Hochschild（共）链层上的同伦微分代数结构的正式性。基于Kontsevich-Soibelman关于圆柱上小圆盘操作的正式性定理，作者证明了同伦微分代数结构与多向量场与微分形式的严格微分代数结构之间存在拟同构，推广了Willwacher的循环正式性结果，并证实了Caldararu猜想的关键情形。

ABSTRACT

The Kontsevich-Soibelman solution of the cyclic version of Deligne's conjecture and the formality of the operad of little discs on a cylinder provide us with a natural homotopy calculus structure on the pair (C^*(A), C_*(A)) ``Hochschild cochains + Hochschild chains'' of an associative algebra A. We show that for an arbitrary smooth algebraic variety X with the structure sheaf O_X the sheaf (C^*(O_X), C_*(O_X)) of homotopy calculi is formal. This result was announced in paper [29] by the second and the third author.

研究动机与目标

• 将Hochschild共链上的同伦Gerstenhaber代数的正式性扩展到Hochschild共链与链对的完整同伦微分代数结构。
• 证明光滑代数簇的结构层 $\mathcal{O}_X$ 上的同伦微分代数层的正式性，即其与严格微分代数结构的拟同构性。
• 将Willwacher对 $\Lambda\mathbf{Lie}^+_{\delta}$-代数的循环正式性定理推广至任意特征为零的域上的光滑代数簇。
• 为循环正式性猜想及其在Hochschild（共）上同调中的应用提供层论基础。

提出的方法

• 利用Kontsevich-Soibelman操作与圆柱上小圆盘操作，构造了结合代数的归一化Hochschild（共）链复形上的同伦微分代数结构。
• 应用圆柱上小圆盘操作的正式性定理，将同伦微分代数实现为多向量场与微分形式上的标准微分代数的形变。
• 通过复形的上同调构造，建立同伦微分代数层 $ (C^{\bullet}_{\text{norm}}(\mathcal{O}_X), C_{\bullet}^{\text{norm}}(\mathcal{O}_X)) $ 与严格微分代数层 $ (V^{\bullet}_X, \Omega^{-\bullet}_X) $ 之间的拟同构。
• 利用Gerstenhaber代数的Morita等价与包络代数构造，将同伦微分代数与底层代数结构联系起来。
• 借助文献[23]中关于圆柱操作的同调性质与Kontsevich-Soibelman操作的性质，建立必要的正式性同构。
• 通过将 $\mathcal{O}_X$ 替换为全纯函数或 $C^\infty$ 函数层，将证明推广至复流形与实光滑流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于特征为零的域上的光滑代数簇，$\mathcal{O}_X$ 的Hochschild（共）链上的同伦微分代数结构是否正式？
• RQ2 Hochschild（共）链上 $\Lambda\mathbf{Lie}^+_{\delta}$-代数结构的正式性是否可扩展至包含链模结构的完整微分代数结构？
• RQ3 同伦微分代数 $ (C^{\bullet}_{\text{norm}}(\mathcal{O}_X), C_{\bullet}^{\text{norm}}(\mathcal{O}_X)) $ 是否允许与经典多向量场与微分形式的微分代数之间存在拟同构？
• RQ4 在Willwacher的循环正式性定理中，是否可以去除假设 $\mathbb{R} \subset \mathbb{K}$，以适用于任意特征为零的域上的光滑代数簇？
• RQ5 Cattaneo与Felder构造的 $L_\infty$ 同构与本文建立的正式性同构之间有何关系？

主要发现

• 在特征为零的域 $\mathbb{K}$ 上的光滑代数簇 $X$ 上，同伦微分代数层 $ (C^{\bullet}_{\text{norm}}(\mathcal{O}_X), C_{\bullet}^{\text{norm}}(\mathcal{O}_X)) $ 是正式的，即其与严格微分代数层 $ (V^{\bullet}_X, \Omega^{-\bullet}_X) $ 拟同构。
• 该正式性结果推广了Willwacher对 $\Lambda\mathbf{Lie}^+_{\delta}$-代数的循环正式性定理，去除了 $\mathbb{R} \subset \mathbb{K}$ 的假设。
• Hochschild上同调 $HH^{\bullet}(X)$ 与Hochschild同调 $HH_{\bullet}(X)$ 作为 $\mathbf{comm}^+$-代数，同构于 $ (H^{\bullet}(X, V^{\bullet}_X), H^{\bullet}(X, \Omega^{-\bullet}_X)) $，证实了 Caldararu 猜想的关键部分。
• 当 $\mathcal{O}_X$ 分别替换为全纯函数或 $C^\infty$ 函数层时，该结果可推广至复流形与实光滑流形。
• 由于所涉及层的软性，实流形上同伦微分代数层的全局截面与经典微分代数层的全局截面拟同构。
• 该证明建立了同伦微分代数正式性与循环正式性猜想之间的联系，暗示其与Van den Bergh对偶性及Cattaneo-Felder工作的深层关联。