[论文解读] The tensor Dirac equation in Riemannian space

Н. Г. Марчук|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2000

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在黎曼流形上不使用 tetrad 形式体系的狄拉克方程张量形式，引入了一种新的克利福德导数结构，将狄拉克方程推广至弯曲时空。主要贡献在于：在闵可夫斯基空间中建立了具有 spin(1,3) 规范不变性的张量狄拉克方程，并通过联络的扭量（contorsion）将引力几何化为具有挠率的仿射联络，其中曲率为零，引力场由势 $ B_\mu $ 和强度 $ C_{\mu\nu} $ 编码。

ABSTRACT

We suggest a tensor equation on Riemannian manifolds which can be considered as a generalization of the Dirac equation for the electron. The tetrad formalism is not used. Also we suggest a new form of the tensor Dirac equation with a Spin(1,3) gauge symmetry in Minkowski space.

研究动机与目标

• 在不依赖 tetrad 形式体系的前提下，将狄拉克方程推广至黎曼流形。
• 在闵可夫斯基空间中引入具有 Spin(1,3) 规范对称性的新型张量狄拉克方程。
• 通过具有扭量的仿射联络与零曲率的关系，提供引力的几何解释。
• 建立在存在挠率的情况下，克利福德导数与协变导数之间的对应关系。
• 在平坦仿射空间中，基于势 $ B_\mu $ 和曲率 $ C_{\mu\nu} $，推导出引力的场论模型。

提出的方法

• 在具有度量 $ g_{\mu\nu} $、签名 $ -2 $ 且 $ \det g < 0 $ 的 4 维黎曼流形上定义微分形式 $ \Lambda^k $。
• 引入 Hodge 星算子 $ \star $，并通过楔积与 Hodge 对偶运算定义克利福德乘法规则。
• 将克利福德导数 $ \Upsilon_\mu $ 定义为使用度量与 Hodge 星算子的协变导数的一般化。
• 构造张量狄拉克方程 $ \Upsilon_\mu \Psi + m \Psi H = 0 $，其中 $ H $ 和 $ I $ 为满足 $ H^2 = 1 $、$ I^2 = -1 $ 且 $ [H,I] = 0 $ 的常数矩阵。
• 引入仿射联络 $ \check{\Gamma}^\lambda_{\mu\nu} $，定义扭量 $ K^\lambda_{\mu\nu} = \check{\Gamma}^\lambda_{\mu\nu} - \Gamma^\lambda_{\mu\nu} $，并将其与挠率关联。
• 定义 $ B_\mu = -\frac{1}{2} K_{\alpha\mu\beta} dx^\alpha \wedge dx^\beta $ 和 $ C_{\mu\nu} = \frac{1}{2} R_{\alpha\beta\mu\nu} dx^\alpha \wedge dx^\beta $，并证明 $ \check{\Upsilon}_\mu U = \Upsilon_\mu U - [B_\mu, U] $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不使用 tetrad 的前提下，将狄拉克方程推广至黎曼流形？
• RQ2 克利福德导数 $ \Upsilon_\mu $ 在微分形式与 Hodge 星算子下的结构为何？
• RQ3 在闵可夫斯基空间的张量狄拉克方程中，能否实现 spin(1,3) 规范对称性？
• RQ4 在仿射联络中存在挠率时，克利福德导数如何变化？
• RQ5 在平坦仿射空间中，如何通过扭量张量与曲率来几何化解释引力？

主要发现

• 张量狄拉克方程 $ \Upsilon_\mu \Psi + m \Psi H = 0 $ 在不使用 tetrad 的前提下被形式化，并推广至黎曼流形。
• 在闵可夫斯基空间中，该方程在变换 $ \Psi \to \Psi V $、$ H \to V^{-1} H V $、$ I \to V^{-1} I V $ 下具有全局 Spin(1,3) 规范对称性，其中 $ V \in \text{Spin}(1,3) $。
• 在存在仿射联络时，克利福德导数满足 $ \check{\Upsilon}_\mu U = \Upsilon_\mu U - [B_\mu, U] $，其中 $ B_\mu $ 由扭量张量导出。
• 当且仅当仿射曲率 $ \check{R}_{\alpha\beta\mu\nu} = 0 $ 时，方程 $ \Upsilon_\mu B_\nu - \Upsilon_\nu B_\mu - [B_\mu, B_\nu] = \frac{1}{2} C_{\mu\nu} $ 成立。
• 引力场被建模为一对 $ \{ B_\mu, C_{\mu\nu} \} $，其中 $ B_\mu $ 为势，$ C_{\mu\nu} $ 为强度，在具有度量相容联络的平坦仿射空间中。
• 该模型将引力识别为具有挠率的仿射联络的几何属性，其中曲率为零，场方程由仿射联络的平坦性条件导出。