[论文解读] The Termination of Algorithms for Computing Gröbner Bases

Senshan Pan, Yupu Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文通过引入具有灵活插入策略的广义F5GEN算法，为计算Gröbner基的F5、F5B和GVWHS算法提供了完整的终止性与正确性证明。当可接受的单项式序与模序兼容时，证明了终止性必然成立，从而解决了计算代数几何领域长期存在的开放问题。

ABSTRACT

The F5 algorithm is generally believed as one of the fastest algorithms for computing Gröbner bases. However, its termination problem is still unclear. Recently, an algorithm GVW and its variant GVWHS have been proposed, and their efficiency are comparable to the F5 algorithm. In the paper, we clarify the concept of an admissible module order. For the first time, the connection between the reducible and rewritable check is discussed here. We show that the top-reduced S-Gröbner basis must be finite if the admissible monomial order and the admissible module order are compatible. This paper presents a complete proof of the termination and correctness of the GVWHS algorithm. What is more, it can be seen that the GVWHS is in fact an F5-like algorithm. Different from the GVWHS algorithm, the F5B algorithm may generate redundant sig-polynomials. Taking into account this situation, we prove the termination and correctness of the F5B algorithm. And we notice that the original F5 algorithm slightly differs from the F5B algorithm in the insertion strategy on which the F5-rewritten criterion is based. Exploring the potential ordering of sig-polynomials computed by the original F5 algorithm, we propose an F5GEN algorithm with a generalized insertion strategy, and prove the termination and correctness of it. Therefore, we have a positive answer to the long standing problem of proving the termination of the original F5 algorithm.

研究动机与目标

• 解决原始F5算法终止性证明这一长期存在的开放问题。
• 阐明签名基Gröbner基算法中可约与可重写检查之间的关系。
• 为GVWHS算法提供完整且严格的终止性与正确性证明。
• 证明F5B与原始F5算法是具有不同插入策略的广义F5GEN算法的特例。
• 通过展示签名基算法是F5的不同插入与选择机制变体，统一其理论基础。

提出的方法

• 提出可接受模序的新定义，并建立其与可接受单项式序的兼容性。
• 证明在兼容排序下，顶约化的S-Gröbner基的有限性，构成核心理论基础。
• 提出具有广义插入策略的F5GEN算法，该算法推广了F5与F5B。
• 通过顶不可约签名的归纳法证明F5GEN的终止性，利用此类签名的有限性。
• 分析错误配对及其通过$\prec_{pm}$序的纠正，以确保尽管存在冗余仍能保证终止。
• 将GVWHS重新表述为类似F5的算法（F5G），以实现比较，并通过结构相似性证明其终止性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在兼容的单项式序与模序下，原始F5算法对任意有限个齐次多项式集合是否都能终止？
• RQ2 签名基Gröbner基算法中，可约检查与可重写检查之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否证明F5B算法（其生成冗余的sig-多项式）的终止性并生成正确的Gröbner基？
• RQ4 GVWHS算法在结构与行为上是否真正等价于F5，其终止性能否被严格证明？
• RQ5 能否构建一个广义的F5GEN算法，使得F5与F5B均为其特例，且该算法能保证终止性与正确性？

主要发现

• 当单项式序与模序兼容时，原始F5算法对任意有限个齐次多项式集合均能终止，并计算出正确的Gröbner基。
• 具有广义插入策略的F5GEN算法提供了一个统一框架，可将F5与F5B均视为其特例。
• GVWHS算法被证明能终止，并被证明在结构上等价于F5，因此属于F5类算法。
• 尽管F5B算法生成冗余的sig-多项式，但其终止性仍可被证明，原因在于顶不可约签名的有限性以及对错误配对的受控纠正。
• 终止性证明依赖于在兼容排序下顶约化的S-Gröbner基的有限性，该结果被确立为基础性结论。
• 本文通过提供严谨而完整的论证，纠正了文献中先前存在缺陷的终止性证明，包括Gash（2009）与Arri和Perry（2011）的证明。