[论文解读] The time at which a Lévy process creeps

Philip S. Griffin, Ross Maller|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2011

Probability and Risk Models参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文证明了 Lévy 过程越过水平 $ u $ 的时刻由双变量上升 ladder 过程的更新函数 $ V(t,u) $ 的左导数刻画，该导数经高度分量 $ H $ 的漂移的倒数缩放。关键贡献在于识别了 Doney 和 Kyprianou（2006）五重法则中缺失的爬行项，并推导出一个广义的拉普拉斯变换恒等式，该恒等式扩展了 Percheskii 和 Rogozin 的第二个因子分解恒等式。

ABSTRACT

We show that if a Lévy process creeps then, as a function of $u$, the renewal function $V(t,u)$ of the bivariate ascending ladder process $(L^{-1},H)$ is absolutely continuous on $[0,\infty)$ and left differentiable on $(0,\infty)$, and the left derivative at $u$ is proportional to the (improper) distribution function of the time at which the process creeps over level $u$, where the constant of proportionality is $ md_H^{-1}$, the reciprocal of the (positive) drift of $H$. This yields the (missing) term due to creeping in the recent quintuple law of Doney and Kyprianou (2006). As an application, we derive a Laplace transform identity which generalises the second factorization identity. We also relate Doney and Kyprianou's extension of Vigon's équation amicale inversée to creeping. Some results concerning the ladder process of $X$, including the second factorization identity, continue to hold for a general bivariate subordinator, and are given in this generality.

研究动机与目标

• 刻画 Lévy 过程越过水平 $ u $ 的时刻的分布，特别是通过双变量上升 ladder 过程来表达。
• 识别 Doney 和 Kyprianou（2006）五重法则中缺失的爬行项，该法则此前忽略了爬行路径的贡献。
• 通过从爬行机制导出的拉普拉斯变换恒等式，将 Percheskii 和 Rogozin（1969）的第二个因子分解恒等式推广。
• 将关于双变量 ladder 过程的结果推广至一般的双变量子协从过程，揭示第二个因子分解恒等式是更广泛变换结果的特例。
• 将爬行现象与 Doney 和 Kyprianou 对 Vigon 的互惠方程（équation amicale inversée）的扩展联系起来，阐明其在 Lévy 过程波动理论中的作用。

提出的方法

• 分析双变量上升 ladder 过程 $ (L^{-1}, H) $ 的更新函数 $ V(t,u) $，证明当爬行发生时，其在 $ (0,ty) $ 上绝对连续且左可导。
• 推导出 $ V(t,u) $ 在 $ u $ 处的左导数与爬行时间的（广义）分布函数成正比，比例常数为 $ ext{d}_H^{-1} $，即高度分量 $ H $ 的漂移的倒数。
• 利用 Wiener-Hopf 因子分解与对偶性，通过对偶过程 $ {X} $ 将 ladder 高度与逆局部时间的联合分布与爬行机制联系起来。
• 应用补偿公式，将 ladder 过程的跳跃分布用双变量子协从过程的 Lévy 测度 $ { {P}}_{L^{-1},H} $ 表示，从而将其与原始过程的跳跃测度联系起来。
• 通过积分双变量更新函数并关联到对偶过程的 ladder 结构，推导出爬行时间分布的拉普拉斯变换恒等式。
• 建立双变量子协从过程的一般变换结果，表明第二个因子分解恒等式是该更广泛框架下的特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 爬行时间分布与双变量上升 ladder 过程的更新函数之间存在何种精确关系？
• RQ2 如何显式识别并表达 Doney 和 Kyprianou（2006）五重法则中缺失的爬行项？
• RQ3 能否通过一个拉普拉斯变换恒等式，将 Percheskii 和 Rogozin（1969）的第二个因子分解恒等式推广以包含爬行路径的贡献？
• RQ4 关于 Lévy 过程的双变量 ladder 过程的结果在多大程度上可推广至一般的双变量子协从过程？
• RQ5 爬行机制如何与 Doney 和 Kyprianou 对 Vigon 的 équation amicale inversée 的扩展相联系？

主要发现

• 当 Lévy 过程发生爬行时，双变量上升 ladder 过程的更新函数 $ V(t,u) $ 在 $ (0,ty) $ 上绝对连续且左可导。
• 在 $ u $ 处，$ V(t,u) $ 的左导数与爬行时间的累积分布函数成正比，比例常数为 $ ext{d}_H^{-1} $，即高度分量 $ H $ 的漂移的倒数。
• 五重法则中缺失的爬行项被识别为 $ ext{d}_H^{-1} imes $ 爬行时间的累积分布函数，从而完整构建了波动理论的框架。
• 推导出一个广义的拉普拉斯变换恒等式，将 Percheskii 和 Rogozin（1969）的第二个因子分解恒等式推广至包含爬行路径的情形。
• 证明第二个因子分解恒等式是双变量子协从过程一般变换结果的一个特例，这一事实此前在文献中未被注意。
• 正式建立了爬行机制与 Doney 和 Kyprianou 对 Vigon 的 équation amicale inversée 扩展之间的联系，阐明了其在 Lévy 过程波动理论中的作用。