[论文解读] The topology of the space of matrices of Barvinok rank two

Axel Hultman, Jakob Jönsson|ArXiv.org|Feb 19, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文证明了 $ B_{d,n} $ 空间（即 $ d \times n $ 实矩阵的 Barvinok 秩为二，模去缩放和平移）同胚于商空间 $ (S^{d-2} \times S^{n-2}) / \mathbb{Z}_2 $，从而证明其为流形，并通过离散 Morse 理论计算其整同调。当 $ d \geq n $ 时，若 $ d $ 为奇数，则其同调同构于 $ S^{d-2} \times \mathbb{RP}^{n-2} $，且在特定度数中出现挠率。

ABSTRACT

The Barvinok rank of a $d imes n$ matrix is the minimum number of points in $\mathbb{R}^d$ such that the tropical convex hull of the points contains all columns of the matrix. The concept originated in work by Barvinok and others on the travelling salesman problem. Our object of study is the space of real $d imes n$ matrices of Barvinok rank two. Let $B_{d,n}$ denote this space modulo rescaling and translation. We show that $B_{d,n}$ is a manifold, thereby settling a conjecture due to Develin. In fact, $B_{d,n}$ is homeomorphic to the quotient of the product of spheres $S^{d-2} imes S^{n-2}$ under the involution which sends each point to its antipode simultaneously in both components. In addition, using discrete Morse theory, we compute the integral homology of $B_{d,n}$. Assuming $d \ge n$, for odd $d$ the homology turns out to be isomorphic to that of $S^{d-2} imes \mathbb{RP}^{n-2}$. This is true also for even $d$ up to degree $d-3$, but the two cases differ from degree $d-2$ and up. The homology computation straightforwardly extends to more general complexes of the form $(S^{d-2} imes X)/\mathbb{Z}_2$, where $X$ is a finite cell complex of dimension at most $d-2$ admitting a free $\mathbb{Z}_2$-action.

研究动机与目标

• 解决 Develin 的猜想：$ B_{d,n} $，即 $ d \times n $ 矩阵的 Barvinok 秩为二且模去缩放和平移的商空间，是否为流形。
• 计算 $ B_{d,n} $ 的整同调，特别是识别其挠部分与自由部分。
• 建立对任意具有自由 $ \mathbb{Z}_2 $-作用且维数 $ \leq d-2 $ 的有限胞腔复形 $ X $，有 $ (S^{d-2} \times X)/\mathbb{Z}_2 $ 与 $ S^{d-2} \times (X/\mathbb{Z}_2) $ 同调同构的结论。
• 阐明 $ d $ 为偶数与奇数时同调的差异，尤其是在高阶同调中的表现。

提出的方法

• 作者将 $ B_{d,n} $ 定义为 Barvinok 秩为二的 $ d \times n $ 矩阵空间模去缩放和平移，并利用树结构构造其单纯剖分。
• 证明 $ B_{d,n} $ 同胚于 $ (S^{d-2} \times S^{n-2}) / \mathbb{Z}_2 $，其中 $ \mathbb{Z}_2 $-作用为两个球面上的同步对径映射。
• 应用离散 Morse 理论于该空间的链复形，利用复形的 $ \mathbb{Z}_2 $-等变分解为 $ \hat{\mathsf{U}}^{(0)} $ 和 $ \hat{\mathsf{U}}^{(D)} $ 子复形。
• 关键构造涉及映射 $ \varphi(w{\bf b}_{0,k}) = \sum_{i=0}^D q^i(w){\bf b}_{i,k-i} $，该映射关联了分解中边界映射的关系。
• 通过将 $ H_*(\left(\mathsf{V} \otimes \mathsf{W}\right)^+) $ 与 $ H_*(\mathsf{W}^+) $ 和 $ H_*(\mathsf{W}^-) $ 关联，依据 $ D $ 的奇偶性计算同调。
• 最终的同调计算采用 $ S^{n-2} $ 的标准半球胞腔分解作为复形 $ \mathsf{W} $，并应用定理 4.12 推导出挠部分与自由部分。

实验结果

研究问题

• RQ1 空间 $ B_{d,n} $（即 Barvinok 秩为二的矩阵空间）是否为拓扑流形？
• RQ2 其整同调是什么，特别是其挠部分与自由部分？
• RQ3 当 $ d $ 为奇数或偶数时，$ B_{d,n} $ 的同调与 $ S^{d-2} \times \mathbb{RP}^{n-2} $ 的同调有何比较？
• RQ4 在何种条件下，$ (S^{d-2} \times X)/\mathbb{Z}_2 $ 与 $ S^{d-2} \times (X/\mathbb{Z}_2) $ 具有相同的同调，其中 $ X $ 为 $ \mathbb{Z}_2 $-复形？
• RQ5 离散 Morse 理论在计算 $ B_{d,n} $ 同调中起什么作用，它如何简化链复形？

主要发现

• 空间 $ B_{d,n} $ 同胚于 $ (S^{d-2} \times S^{n-2}) / \mathbb{Z}_2 $，从而证实了 Develin 的猜想，即其为流形。
• 当 $ d \geq n $ 时，若 $ d $ 为奇数，则 $ B_{d,n} $ 的约化整同调同构于 $ S^{d-2} \times \mathbb{RP}^{n-2} $。
• 当 $ d $ 为偶数时，$ B_{d,n} $ 的同调在度数 $ d-2 $ 及以上与 $ S^{d-2} \times \mathbb{RP}^{n-2} $ 不同。
• 同调的自由部分为 $ \mathbb{Z} $，出现在满足以下条件的度数 $ i $：$ i+2 = d = n $ 且 $ i $ 为奇数，或 $ i+2 = n \neq d $，或 $ i+2 = d \neq n $，或 $ i = d+n-4 $ 且 $ i $ 为偶数。
• 同调的挠部分为 $ \mathbb{Z}_2 $，出现在满足以下条件的度数 $ i $：$ 1 \leq i \leq n-3 $ 且 $ i $ 为奇数，或 $ d-2 \leq i \leq d+n-5 $ 且 $ i $ 为偶数。
• 该同调计算可推广至任意具有自由 $ \mathbb{Z}_2 $-作用且维数 $ \leq d-2 $ 的有限胞腔复形 $ X $，当 $ d $ 为奇数时，有 $ (S^{d-2} \times X)/\mathbb{Z}_2 $ 与 $ S^{d-2} \times (X/\mathbb{Z}_2) $ 同调同构。