[论文解读] The tricategory of formal composites and its strictification

Peter Guthmann|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

Advanced Algebra and Logic参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文引入了形式复合的三范畴 bT，它严格三等价地嵌入任意三范畴 T 到一个结构中，使得粘贴图可等价地在 Gray 三范畴 Tst 中计算。通过保持 1- 和 2-态射的形式复合，并利用严格三等价性，该方法将复杂的三范畴计算——尤其是涉及协强制胞的计算——简化为在半严格 Gray 三范畴中基于重写规则的计算，从而支持使用 Globular 等工具进行形式化验证。

ABSTRACT

The results of this thesis allows one to replace calculations in tricategories with equivalent calculations in Gray categories (aka semistrict tricategories). In particular the rewriting calculus for Gray categories as used for example by the online proof assistant globular (arXiv:1612.01093), or equivalently the Gray-diagrams of arXiv:1211.0529 can then be used also in the case of a fully weak tricategory.

研究动机与目标

• 本文旨在通过将完全弱的三范畴中的复杂计算简化为半严格 Gray 三范畴中的计算，来简化这些计算。
• 它解决了标准三范畴与 Gray 三范畴之间的三等价性并非严格的问题，因此无法保持粘贴图结构。
• 核心目标是构建一个形式复合的三范畴 bT，使其严格三等价于原始三范畴 T 和一个 Gray 三范畴 Tst。
• 这使得在 T 中的粘贴图等式可等价地在 Tst 中进行验证，其中大多数约束胞是恒等映射。
• 该方法使得可以使用重写演算（如 Globular 证明助手中的演算）对一般三范畴进行形式化推理。

提出的方法

• 通过形式编码 T 中所有 1- 和 2-态射的复合来构建三范畴 bT，即使它们在求值后得到相同的态射，也予以区分。
• 求值函子 ev: bT → T 是一个准严格三等价，意味着它除协强制胞外严格保持所有结构。
• 第二个严格三等价 [−]: bT → Tst 将 bT 映射到一个 Gray 三范畴 Tst，其中除交换子外的所有约束胞均为恒等映射。
• 这两个三等价的复合提供了一条从 T 到 Tst 的路径，从而实现图示的简化。
• 该构造确保 T 中的粘贴图可唯一提升至 bT，且其等式关系在 [−] 下被保留在 Tst 中。
• 这使得可以使用重写图（Globular 中常见的图示）来在完全弱的三范畴中进行推理。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管三范畴与 Gray 三范畴之间的三等价性并非严格，是否仍可将完全弱三范畴中粘贴图等式的计算简化为等价的 Gray 三范畴中的等式？
• RQ2 如何利用 1- 和 2-态射的形式复合来构建一个三范畴，使其能严格三等价于原始三范畴以及一个 Gray 三范畴？
• RQ3 协强制胞在从 T 到 bT 以及从 bT 到 Tst 的转换中起什么作用？它们在 Tst 中如何被简化？
• RQ4 通过此构造，重写演算（如 Globular 中使用的演算）在多大程度上可应用于一般三范畴？
• RQ5 严格三等价 [−]: bT → Tst 如何在简化结构的同时保持 bT 中粘贴图的等式关系？

主要发现

• 形式复合的三范畴 bT 严格三等价于原始三范畴 T 和一个 Gray 三范畴 Tst，从而实现了计算的严格简化。
• 求值函子 ev: bT → T 是一个准严格三等价，确保 bT 中粘贴图的等式与 T 中的等式完全对应。
• 函子 [−]: bT → Tst 是一个准严格三等价，意味着 bT 中的等式在 Tst 中被保持并简化，其中大多数 3-胞均为恒等映射。
• 因此，T 中的粘贴图可借助重写图在 Tst 中等价地进行验证，显著降低了复杂度。
• 该构造使得可以通过将公理（如双伴随的公理）提升到 bT 并在 Tst 中简化，从而实现形式化验证，使其变得可处理。
• 该方法使得 Globular 证明助手可用于一般三范畴的推理，通过将它们的结构简化为与基于重写的形式系统兼容的形式。